RANDOM
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12

Giải bài 3 tr 43 sách GK Toán GT lớp 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) \(y=\frac{x+3}{x-1}\).

b) \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\).

c) \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\).

ADSENSE
QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết bài 3

Phương pháp giải:

Xét hàm số phân thức: \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\;(c \ne 0,\;ad - bc \ne 0)\)

- Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{{ - d}}{c}} \right\}.\)

- Sự biến thiên

+ Tính đạo hàm \(y' = \left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{a{\rm{d - bc}}}}{{{{{\rm{(cx + d)}}}^{\rm{2}}}}}\).

+ y’ không xác định khi \(x = \frac{{ - d}}{c}\); y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi \(x \ne \frac{{ - d}}{c}\)

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng \(( - \infty ; - \frac{d}{c})\) và \((-\frac{d}{c}; + \infty )\)

+ Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = \frac{a}{c}\) nên đường thẳng \(y = \frac{a}{c}\) là tiệm cận ngang.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ - }} \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = ( \pm )\infty\) ;

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - d}}{c}}^ + }} \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = ( \pm )\infty\) nên đường thẳng \(x = \frac{{ - d}}{c}\) là tiệm cận đứng.

- Lập bảng biến thiên: Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên.

- Đồ thị:

+ Giao của đồ thị với trục Oy: x = 0 ⇒ y = \(\frac{b}{d}\) => (0; \(\frac{b}{d}\)).

+ Giao của đồ thị với trục Ox: \(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{{\rm{ax + b}}}}{{{\rm{cx + d}}}} = 0 \Rightarrow ax + b = 0 \)

\(\Leftrightarrow x = \frac{{ - b}}{a} \Rightarrow (\frac{{ - b}}{a};0)\).

+ Lấy thêm một số điểm (nếu cần) - điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

+ Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Đồ thị nhận điểm \(I(\frac{{ - d}}{c};\frac{a}{c})\) là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Lời giải:

Vận dụng các bước trên ta giải các câu a, b, c bài 3 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y=\frac{x+3}{x-1}\)

Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 1 \right\}\). 

Đạo hàm: \(\small y' = {{ - 4} \over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,\forall x \ne 1\).

Tiệm cận:

​\(\small \mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {1^ + }} = + \infty\) 

nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\small \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = 1;\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = 1\) 

nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

  Bảng biến thiên câu a bài 3 trang 43 SGK Giải tích 12

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\small \left( { - \infty ;1} \right)\) và \(\small \left( {1; + \infty } \right).\)

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;1) là giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (-3;0), cắt Oy tại điểm (0;-3).

Nhận xét: vẫn chưa đủ điểm để vẽ đồ thị hàm số nên ta tiến hành lấy thêm 2 điểm đối xứng với (-3;0) và (0;-3) qua I(1;1) là các điểm (2;5) và (3;3).

Vậy ta có đồ thị hàm số: 

Đồ thị câu a bài 3 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

 

Câu b:

Xét hàm số \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\)

Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ 2 \right\}\).

Đạo hàm: \(\small y' = {6 \over {{{\left( {2{\rm{x}} - 4} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2.\)

Tiệm cận:

​\(\small \mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ - }} = + \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {2^ + }} = - \infty\) 

nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\small \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = -1;\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = -1\) 

nên đường thẳng y =- 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên câu b bài 3 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\small \left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\small \left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận điểm I(2;-1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại \(\small \left ( \frac{1}{2};0 \right );\) cắt trục Oy tại \(\small \left (0;-\frac{1}{4} \right );\)

Ta lấy thêm một điểm thuộc nhánh còn lại để vẽ đồ thị hàm số: với x=3 suy ra \(\small y=\frac{5}{2}.\)

Đồ thị hàm số: 

Đồ thị câu b bài 3 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Câu c:

Xét hàm số \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\)

Tập xác định: \(D =\mathbb{R} \backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}\).

Đạo hàm: \(\small y' = {{ - 5} \over {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \ne - {1 \over 2}\).

Tiệm cận:

​\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} = - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} = + \infty\) 

nên đường thẳng \(x=-\frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\small \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = - \frac{1}{2};\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = - \frac{1}{2}\) nên đường thẳng \(y=-\frac{1}{2}\) 

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bảng biến thiên:

Bảng biến thiên câu c bài 3 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:  

Đồ thị hàm số nhận điểm \(I\left( { - \frac{1}{2}; -\frac{1}{2}} \right)\) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm (2;0), cắt trục Oy tại điểm (0;). Ta lấy điểm (-1;-3) thuộc nhánh còn lại để thuận lợi hơn cho việc vễ đồ thị.

Đồ thị câu c bài 3 trang 43 SGK Giải tích lớp 12

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 3 trang 43 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 

 

 
 

Bài tập SGK khác

Bài tập 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 43 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 7 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 9 trang 44 SGK Giải tích 12

Bài tập 1.56 trang 36 SBT Toán 12

Bài tập 1.57 trang 36 SBT Toán 12

Bài tập 1.58 trang 36 SBT Toán 12

Bài tập 1.59 trang 36 SBT Toán 12

Bài tập 1.60 trang 36 SBT Toán 12

Bài tập 1.61 trang 36 SBT Toán 12

Bài tập 1.62 trang 37 SBT Toán 12

Bài tập 1.63 trang 37 SBT Toán 12

Bài tập 1.64 trang 37 SBT Toán 12

Bài tập 1.65 trang 37 SBT Toán 12

Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12

Bài tập 1.67 trang 38 SBT Toán 12

Bài tập 1.68 trang 38 SBT Toán 12

Bài tập 1.69 trang 38 SBT Toán 12

Bài tập 1.70 trang 38 SBT Toán 12

Bài tập 1.71 trang 39 SBT Toán 12

Bài tập 1.72 trang 39 SBT Toán 12

Bài tập 1.73 trang 39 SBT Toán 12

Bài tập 1.74 trang 39 SBT Toán 12

Bài tập 29 trang 27 SGK Toán 12 NC

Bài tập 30 trang 27 SGK Toán 12 NC

Bài tập 31 trang 27 SGK Toán 12 NC

Bài tập 32 trang 28 SGK Toán 12 NC

Bài tập 33 trang 28 SGK Toán 12 NC

Bài tập 40 trang 43 SGK Toán 12 NC

Bài tập 41 trang 44 SGK Toán 12 NC

Bài tập 42 trang 45 SGK Toán 12 NC

Bài tập 43 trang 44 SGK Toán 12 NC

Bài tập 44 trang 44 SGK Toán 12 NC

Bài tập 45 trang 44 SGK Toán 12 NC

Bài tập 49 trang 49 SGK Toán 12 NC

Bài tập 50 trang 49 SGK Toán 12 NC

Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC

Bài tập 46 trang 44 SGK Toán 12 NC

Bài tập 47 trang 45 SGK Toán 12 NC

Bài tập 48 trang 45 SGK Toán 12 NC

Bài tập 52 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 53 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 54 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 55 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 56 trang 50 SGK Toán 12 NC

Bài tập 57 trang 55 SGK Toán 12 NC

Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 59 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 62 trang 57 SGK Toán 12 NC

Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC

Bài tập 64 trang 57 SGK Toán 12 NC

Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC

Bài tập 66 trang 58 SGK Toán 12 NC

  • Hà Minh Sự

    Các bước giải bài toán viết PT đường thẳng cắt đồ thị hàm số bậc ba tại ba điểm?

    Theo dõi (0) 4 Trả lời
  • YOMEDIA
    Ngại gì không thử App HOC247
    Nguyễn Sơn Ca
    Theo dõi (0) 2 Trả lời
  • Trịnh Lan Trinh
    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Trần Hoàng Mai

    Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

    A.  \(\left( { - 1;0} \right).\)                         

     B.\(\left( { - \infty ;0} \right).\)                          

    C. \(\left( {0;1} \right).\)                              

    D. \(\left( {1; + \infty } \right).\)

    Theo dõi (0) 4 Trả lời
  • Nguyễn Sơn Ca

    Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {3 - 2x} \right)\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

    A.   \(\left( {0;2} \right).\)                         

     B.   \(\left( {1;3} \right).\)                               

    C. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)                       

    D. \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
YOMEDIA