RANDOM
AMBIENT
Video-Banner
ADSENSE

Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Với các giá nào của m, đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:

  • Tại hai điểm phân biệt?
  • Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?
ANYMIND

Hướng dẫn giải chi tiết

a) TXĐ: D = R \ {-1}

\(y\prime  = \frac{3}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \in D\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;−1) và (−1;+∞)

Hàm số không có cực trị

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 2\)

Tiệm cận đứng y = 2

\(\mathop {\lim}\limits_{x \to {1^ - }} y =  + \infty ;\mathop {\lim}\limits_{x \to {1^ + }} y =  - \infty \)

Tiệm cận đứng y = 2

Bảng biến thiên

Đồ thị giao Ox tại điểm (1/2;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;−1)

b) Phương trình đường thẳng (dm) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m là:

y - 2 = m(x + 2) hay y = mx + 2m + 2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng (dm) và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

\(\begin{array}{l}
mx + 2m + 2 = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\\
 \Leftrightarrow (mx + 2m + 2)(x + 1) = 2x - 1(1)\\
 \Leftrightarrow f(x) = {x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0(2)
\end{array}\)

(vì x = −1 không là nghiệm của (1))

  • Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là

\(\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta  = {m^2} - 12m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \) m < 0 hoặc m > 12 (*)

  • Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng x = −1 của đồ thị.

Đường thẳng (dm) cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < −1 < x2

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1\\
 \Leftrightarrow ({x_1} + 1)({x_2} + 1) < 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{2m + 3}}{m} - \frac{{3m}}{m} + 1 < 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \frac{3}{m} < 0}
\end{array}\)

Vậy với m < 0 thì (dm) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 58 trang 56 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA