Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \\
 =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}
\end{array}\\
{ - \frac{g}{{v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha  =  - \frac{g}{{v_o^2}}x}
\end{array}} \right.\)

Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là:

\(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\)

Ta có: \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là:

\(\begin{array}{l}
y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}} \right)^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\\
 = \frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} \right)
\end{array}\)

Điểm \(\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }};\frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\)

là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

-- Mod Toán 12 HỌC247