RANDOM
AMBIENT
Video-Banner
ADSENSE

Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC

Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v0 > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc α ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) 

(g là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),({\gamma _\alpha })\)  luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: \(y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn).

ANYMIND

Hướng dẫn giải chi tiết

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \\
 =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}
\end{array}\\
{ - \frac{g}{{v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)x + \tan \alpha  =  - \frac{g}{{v_o^2}}x}
\end{array}} \right.\)

Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là:

\(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\)

Ta có: \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\) cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là \(x = \frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}\). Tung độ của tiếp điểm là:

\(\begin{array}{l}
y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }}} \right)^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\\
 = \frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha }}} \right)
\end{array}\)

Điểm \(\left( {\frac{{v_o^2}}{{g\tan \alpha }};\frac{{v_o^2}}{{2g}}\left( {1 - {{\cot }^2}\alpha } \right)} \right)\)

là tiếp điểm của hai parabol với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 61 trang 56 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA