Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

a) \(\small y = 2 + 3x - x^3\).                             

b) \(\small y = x^3 + 4x^2 + 4x\).

c) \(\small y = x^3 + x^2+ 9x\).                           

d) \(\small y = -2x^3 + 5\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc bốn sau:

a) \(\small y = -x^4 + 8x^2 - 1\).              

b) \(\small y = x^4 - 2x^2 + 2\).

c) \(\small y=\frac{1}{2}x^4+x^2-\frac{3}{2}\).

d) \(\small y = -2x^2 - x^4 + 3\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số phân thức:

a) \(y=\frac{x+3}{x-1}\).

b) \(y=\frac{1-2x}{2x-4}\).

c) \(y=\frac{-x+2}{2x+1}\).

Bằng cách khảo sát hàm số, hãy tìm số nghiệm của các phương trình sau:

a) \(\small x^3 - 3x^2 + 5 = 0\).    

b) \(\small -2x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).  

c) \(\small 2x^2 - x^4 = -1\).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(\small y = -x^3 + 3x + 1\)

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận về số nghiệm của phương trình sau theo tham số m.

\(\small x^3 - 3x + m = 0.\)

Cho hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\).

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b) Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị đi qua \(A(-1 ; \sqrt{2}).\)

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Cho hàm số \(y=\frac{1}{4}x^4+\frac{1}{2}x^2+m\).

a) Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;1)?

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng \(\frac{7}{4}\).

Cho hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\) (m là tham số) có đồ thị là (C_m).

a) Xác định m để hàm số có điểm cực đại là x = -1.

b) Xác định m để đồ thị (C_m) cắt trục hoành tại x = -2.

Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\) (m là tham số) có đồ thị là (G).

 a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0 ; -1).

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

a) \(y = 2 - 3x - {x^2}\)

b) \(y = {x^3} - {x^2} + x\)

c) \(y =  - {x^4} + 2{x^3} + 3\)

Tìm giá trị của tham số m để hàm số \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị

Cho hàm số \(y = \frac{1}{4}{x^3} - \frac{3}{2}{x^2} + 5\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho;

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 6{x^2} + m = 0\) có ba nghiệm phân biệt

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

\(y =  - {x^3} + 3x + 1\)

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C') của hàm số

\(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

c) Dựa vào đồ thị (C'), biện luận theo m số nghiệm của phương trình 

\({(x + 1)^3} = 3x + m\)

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C'), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y =  - \frac{x}{9} + 1\)

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình

a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)

b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)

Cho hàm số 

\(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)   (1)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0.

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt

Cho hàm số \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\)(1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

Cho hàm số: \(y = \frac{{{x^4}}}{4} - 2{x^2} - \frac{9}{4}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \(y = k - 2{x^2}\)

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5.

Cho hàm số

\(y = \frac{{4 - x}}{{2x + 3m}}\)

a) Xét tính đơn điệu của hàm số

b) Chứng minh rằng với mọi m, tiệm cận ngang của đồ thị (C_m) của hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(B\left( { - \frac{7}{4}; - \frac{1}{2}} \right)\)

c) Biện luận theo m số giao điểm của (C_m) và đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

d) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = \left| {\frac{{4 - x}}{{2x + 3}}} \right|\)

Hàm số \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\) đạt cực tiểu tại x = 1. Khi :

A. m = 1

B. m = 2

C. m =−3

D. m = 4

Hàm số \(y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5\) có ba cực trị khi :

A. −2 < m < 2

B. m = 2

C. m < −2

D. m > 2

Biểu thức tổng quát của hàm số có đồ thị như hình 1.6 là :

A. \(y = a{x^2} + bx + c\) với \(a \ne 0\)

B. \(y = a{x^3} + cx + d\) với a < 0

C. \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với a > 0 

      và \({b^2} - 3ac > 0\)

D. \(y = {x^3}\)

Xác định giá trị của tham số m để hàm số 

\(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 1)x - 5\) 

có cực trị.

A. \(m > 0\)

B. \( - 1 < m < 1\)

C. \(m \le 0\)

D. \(\forall m \in R\)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2}\) tại điểm có hoành độ x = −2 là :

A. y = −24x+40

B. y = 24x−40

C. y = −24x−40

D. y = −24x

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) song song với đường thẳng y = 24x−1 là : 

A. y = 24x−43

B. y = −24x−43

C. y = 24x+43

D. y = 24x+1

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\) và đường thẳng y = x+2 là:

A. \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

B. \(\left( {1;3} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)

C. \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( { - \frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\)

D. \(\left( {0; - 1} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\)

Xác định đỉnh I của mỗi parabol (P) sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của parabol (P) đối với hệ tọa độ IXY

a) \(y = 2{x^2} - 3x + 1\) 

b) \(y = \frac{1}{2}{x^2} - x - 3\)

c) \(y = x - 4{x^2}\)

d) \(y = 2{x^2} - 5\)

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 1\)
a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I I  là nghiệm của phương trình f′′(x) = 0.
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng  I  là tâm đối xứng của đường cong (C)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm  I  đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảng \(( - \infty ;1)\) đường cong (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của (C) và trên khoảng \((1; + \infty )\) đường cong (C) nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Cho đường cong (C) có phương trình là \(y = 2 - \frac{1}{{x + 2}}\) và điểm I(−2;2) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C).

Xác định tâm đối xứng của đồ thị mỗi hàm số sau đây:

a) \(y = \frac{2}{{x - 1}} + 1\)

b) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x + 1}}\)

Cho đường cong (C) có phương trình \(y = ax + b + \frac{c}{{x - x{o_o}}}\), trong đó a ≠ 0, c ≠ 0 và điểm \(I\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thỏa mãn: \({y_o} = a{x_o} + b\) . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OI} \) và phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng II là tâm đối xứng của đường cong (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.

c) Chứng minh rằng điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = - x³ +3x² - 1

b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: - x³ +3x² - 1 = m

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} - 3x - \frac{5}{3}\)

b) \(y = {x^3} - 3x + 1\)

c) \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x - \frac{2}{3}\)

d) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x + 1\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = −x⁴ + 2x² − 2
b) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình −x⁴ + 2x² − 2= m
c) Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị ở câu a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) y = x⁴ - 3x² + 2

b) y = - x⁴ - 2x² + 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x³ - 3x² + 1

b) Tùy theo các giá trị của mm, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x³ - 3x² + m + 2 = 0

Cho hàm số y = (x + 1)(x² +2mx + m + 2)

a) Tìm các giá trị của mm để đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = −1

Cho hàm số \(y = {x^4} - \left( {m + 1} \right){x^2} + m\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b) Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m\)

a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có ba cực trị.
b) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại hai điểm 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{1 - 3x}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm  của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: \(\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) \(y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \frac{{{2x^2} - x + 1}}{{1 - x}}\)

c) \(y = \frac{{{2x^2} + 3x - 3}}{{x + 2}}\)

d) \(y =  - x + 2 + \frac{1}{{x - 1}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.

c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm A

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số \(y = 1 - \frac{1}{{x + 1}}\)

b) Từ đồ thị (H) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = 1 + \frac{1}{{x + 1}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = x + \frac{2}{{x - 1}}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3; 3)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\)

b) Từ đồ thị (C) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2}}}{{|x + 1|}}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C) của hàm số: f(x) = 2x³ + 3x² + 1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol: (P): g(x) = 2x² + 1

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Với các giá nào của m, đường thẳng (d_m) đi qua điểm A(−2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:

• Tại hai điểm phân biệt?
• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số: f(x)=−x²+3x+6; g(x)=x³−x²+4 và h(x)=x²+7x+8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(−1;2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A)

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x\) và \(g\left( x \right) = \frac{{3x}}{{x + 2}}\) tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu v₀ > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc α với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và tạo với trục hoành Ox góc α ). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabol.

\(\left( {{\gamma _\alpha }} \right):y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right){x^2} + x\tan \alpha \) 

(g là gia tốc trọng trường).

Chứng minh rằng với mọi \(\alpha  \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right),({\gamma _\alpha })\)  luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: \(y =  - \frac{g}{{2v_o^2}}{x^2} + \frac{{v_o^2}}{{2g}}\) và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\)

b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m − 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} - bx}}{{x - 1}}\)

a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm \(A\left( { - 1;\frac{5}{2}} \right)\) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng −3.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: \(y = \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)

b) Với các giá trị nào của m thì đường thẳng y = m–x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt?

c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

Tìm các hệ số a,ba,b sao cho parabol y = 2x² + ax + b tiếp xúc với hypebol y = 1/x tại điểm M(1/2;2)