Bài tập 51 trang 49 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: D = R \ {-2}

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng

Ta có: \(y = 2x + 1 + \frac{2}{{x + 2}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \left[ {y - \left( {2x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{2}{{x + 2}} = 0\)

Nên y = 2x + 1 là tiệm cận xiên

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
y\prime  = 2 - \frac{2}{{{{(x + 2)}^2}}}\\
 = \frac{{2[{{(x + 2)}^2} - 1]}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{2(x + 1)(x + 3)}}{{{{(x + 2)}^2}}}
\end{array}\\
{y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 1;y\left( { - 1} \right) = 1}\\
{x =  - 3;y\left( { - 3} \right) =  - 7}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Bảng biến thiên 

Điểm đặc biệt: x = 0 ⇒ y = 2

b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y = 2x + 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y =  - 3
\end{array} \right.\)

Vậy I(-2; -3)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto \(\overrightarrow {OI} \): 

\(\left\{ \begin{array}{l}

x = X - 2\\
y = Y - 3
\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + \frac{2}{{X - 2 + 2}}\\
 \Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + \frac{2}{X}\\
 \Leftrightarrow Y = 2X + \frac{2}{X}
\end{array}\)

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc I làm tâm đối xứng.

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} + m = 0\\
 \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}} =  - m
\end{array}\)

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số và đường thẳng y=−m
Dựa vào đồ thị ta có:
+) −m <−7 hoặc – m > 1 ⇔ m > 7 hoặc m<−1 : phương trình có 2 nghiệm;
+) −m =−7 hoặc –m = 1 ⇔ m = 7 hoặc m = −1: phương trình có 1 nghiệm;
+) −7 < m < 1 ⇔ −1 < m < 7: phương trình vô nghiệm.

-- Mod Toán 12 HỌC247