Bài tập 65 trang 58 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: D = R \ {1}

Sự biến thiên

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{2{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;0) và (2;+∞)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) và (1;2)

Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_CĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2, y_CT = 7

Giới hạn:

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ - }} y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {1^ + }} y =  + \infty \)

Tiệm cận đứng là x = 1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{y}{a} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2{x^2} - x + 1}}{{{x^2} - x}} = 2}\\
\begin{array}{l}
b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - 2x} \right)\\
 = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} - 2x} \right) = 1
\end{array}
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; -1)

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} = m - 1\\
 \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = (x - 1)(m - x)
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 3{x^2} - (m + 2)x + m + 1 = 0(1)}
\end{array}\)

(vì x = 1 không là nghiệm củ hai phương trình)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\Delta  = {(m + 2)^2} - 12(m + 1) > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 8 > 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m < 4 - 2\sqrt 6 }\\
{m > 4 - 2\sqrt 6 \left( 2 \right)}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

c) Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của (1)

Hoành độ trung điểm M của AB là: 

\({x_M} = \frac{1}{2}({x_A} + {x_B}) = \frac{{m + 2}}{6}\) 

Vì M nằm trên đường thẳng y = m - x nên \({y_M} = m - {x_M} = m - \frac{{m + 2}}{6} = \frac{{5m - 2}}{6}\)

Khử m từ hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{m + 2}}{6}\\
{y_M} = \frac{{5m - 2}}{6}
\end{array} \right.\)

Ta được \(5{x_M} - {y_M} = 2 \Leftrightarrow {y_M} = 5{x_M} - 2\)

Vậy M nằm trên đường thẳng y = 5x - 2

Vì m chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
m < 4 - 2\sqrt 6 \\
 \Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2\sqrt 6 \\
 \Rightarrow {x_M} < 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
m > 4 + 2\sqrt 6 \\
 \Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2\sqrt 6 \\
 \Rightarrow {x_M} > 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{3}
\end{array}
\end{array}\)

Vậy tập hợp các trung điểm M của đoạn AB là phần của đường thẳng y = 5x−2 với \({x_M} < 1 - \frac{{\sqrt 6 }}{3}\) hoặc \({x_M} > 1 + \frac{{\sqrt 6 }}{3}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247