Bài tập 63 trang 57 SGK Toán 12 NC

a) TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\)

Sự biến thiên

\(y\prime  = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}}} < 0\forall x \in D\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right),\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\)

Giới hạn

\(\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ - }} y =  - \infty ;\mathop {lim}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^ + }} y =  + \infty \)

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng: x = −1/2

\(\mathop {limy}\limits_{x \to  \pm \infty }  = \frac{1}{2}\)

Tiệm cận ngang y=1/2

Bảng biến thiên:

Đồ thị giao Ox tại điểm (−2;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;2)

b) Ta có y = mx+m−1 ⇔ y+1 = m(x+1)

Tọa độ điểm cố định A của đường thẳng là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 = 0\\
y + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x =  - 1\\
y =  - 1
\end{array} \right.\)

Vậy A(-1; 1)

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
m(x + 1) - 1 = \frac{{x + 2}}{{2x + 1}}\\
 \Leftrightarrow (2x + 1)[m(x + 1) - 1] = x + 2
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow m(x + 1)(2x + 1) - (2x + 1) = x + 2}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (x + 1)(2mx + m - 3) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 1}\\
{f(x) = 2mx + m - 3 = 0(1)}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của tiệm cận đứng x = −1/2

Điểm A(−1;1) thuộc nhánh trái của (H) vì \({x_A} =  - 1 < \frac{{ - 1}}{2}\)

Đường thẳng cắt (H)(H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm x<−1/2 và x ≠ −1 tức

\(\left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x = \frac{{ - m + 3}}{2} < \frac{{ - 1}}{2}\\
f\left( { - 1} \right) \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
\frac{3}{{2m}} < 0\\
 - m - 3 \ne 0
\end{array} \right.\)

⇔ m < - 3 hoặc  -3 < m < 0.

-- Mod Toán 12 HỌC247