Bài tập 60 trang 56 SGK Toán 12 NC

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x = \frac{{3x}}{{x + 2}}}\\
{{{\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x} \right)}^\prime } = {{\left( {\frac{{3x}}{{x + 2}}} \right)}^\prime }}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\frac{{{x^2}}}{2} + \frac{3}{2}x = \frac{{3x}}{{x + 2}}\left( 1 \right)}\\
{\frac{x}{2} + \frac{3}{2} = \frac{6}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\left( 2 \right)}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{\frac{{x + 3}}{2} = \frac{3}{{x + 2}}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{{x^2} + 5x = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x =  - 5}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

+) x = 0 thỏa mãn (2)
+) x = −5 phương trình (I) có 1 nghiệm duy nhất x = 0.

Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gôc tọa độ O; \(y'\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). 

Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là \(y = \frac{3}{2}x\)

-- Mod Toán 12 HỌC247