Bài tập 1.66 trang 38 SBT Toán 12

a) TXĐ: D = R∖{2}

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2\) nên tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị là x = 2
\(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in D\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;2} \right);\left( {2; + \infty } \right)\)
Bảng biến thiên

Đồ thị

b) Ta có: \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

Gọi tiếp điểm của tiếp điểm và đồ thị là \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)
Vì tiếp tuyến có hệ số góc là −5 nên ta có:
\(\frac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} =  - 5 \)

\(\Rightarrow {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} =  - 3\\
{x_0} = 3 \Rightarrow {y_0} = 7
\end{array} \right.\)
Từ đó ta có hai phương trình tiếp tuyến phải tìm là
\(\begin{array}{l}
y + 3 =  - 5\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y =  - 5x + 2\\
y - 7 =  - 5\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y =  - 5x + 22
\end{array}\)