Bài tập 8 trang 44 SGK Giải tích 12

Câu a:

Xét hàm số \(y=x^3+(m+3)x^2+1-m\)

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)

Ta có:

\(y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x\)

Cách 1:

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - \frac{{2(m + 3)}}{3} =-\frac{2}{3}m-2\end{array} \right.\)

Xảy ra hai trường hợp đối với dấu của y':

Nếu \(- \frac{{2(m + 3)}}{3} > 0,\)

Vây hàm số đạt cực đại tại x = 0, không thỏa yêu cầu bài toán.

Suy ra để hàm số đạt cực đại thì:

\(- \frac{{2(m + 3)}}{3}=-1<0 \Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}.\) 

Cách 2:

Ta có: \(y''=6x+2(m+3);y''(-1)=2m\)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 nếu: 

\(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{{2(m + 3)}}{3} = - 1\\ y''( - 1) < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = - \frac{3}{2}\\ m < 0 \end{array} \right.\)

Thử lại, với \(m=-\frac{3}{2}\) thì x = -1 là điểm cực đại của hàm số.

Câu b:

(C_m) cắt Ox tại tại điểm có hoành độ bằng - 2 suy ra tọa độ giao điểm là (-2;0).

Thay vào hàm số ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
0 = {( - 2)^3} + (m + 3).{( - 2)^2} + 1 - m\\
 \Leftrightarrow 4m + 12 - 8 + 1 - m = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow 3m + 5 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{3}.}
\end{array}\)

Vậy với \(m=-\frac{5}{3}\) thì (C_m) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = -2.

-- Mod Toán 12 HỌC247