Bài tập 6 trang 44 SGK Giải tích 12

Hướng dẫn:

Để giải câu a bài 6, các em cần nắm được điều kiện để hàm số đồng biến trên một miền cho trước:

Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên miền D khi một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn:

- \(f'(x) > 0,\forall x \in D\).

- \(f'(x) \geq 0,\forall x \in D\) và \(f'(x) = 0\) chỉ tại một số điểm hữu hạn \(x_0 \in D\) (Phương trình \(f'(x) = 0\) có hữu hạn nghiệm).

Với câu b bài 6, ta tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số theo m, rồi từ dữ kiện đường tiệm cận đó đi qua một điểm ta tìm được giá trị m.

Chú ý: khi chỉ xét tiệm cận đứng ta chỉ cần quan tâm đến hoành độ điểm mà tiệm cận đi qua.

Lời giải:

Câu a:

Xét hàm số \(y=\frac{mx-1}{2x+m}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}\)

\(y' = \frac{{{m^2} + 2}}{{\left( {2x + m} \right)}} > 0,\forall m\) và \(\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{m}{2}} \right\}.\)

Vậy hàm số luôn đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{m}{2}} \right)\) và \(\left( { - \frac{m}{2}; + \infty } \right).\)

Câu b:

Điều kiện đề hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có tiệm cận đứng là:

\(\left\{ \begin{array}{l} c \ne 0\\ ad - bc \ne 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} c = 2 \ne 0\\ {m^2} + 2 \ne 0,\forall m \end{array} \right.\) 

(luôn đúng).

Ta có: 

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ + }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ + }} \frac{{mx - 1}}{{2x + m}} = - \infty ;\)

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ - }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - \frac{m}{2}} \right)}^ - }} \frac{{mx - 1}}{{2x + m}} = + \infty\)

Nên đường thẳng \(x=-\frac{m}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Tiệm cận đứng đi qua \(A\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\) khi và chỉ khi: \(- \frac{m}{2} = - 1 \Leftrightarrow m = 2.\)

Khi tìm điều kiện liên quan đến tiệm cận đứng ta chỉ cần quan tâm đến hoành độ, cụ thể trong bài 6, đường thẳng x = -1 sẽ đi qua \(A\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).

Câu c:

Với m = 2, ta có hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}}\)

Tập xác định \(D = \backslash \left\{ { - 1} \right\}.\)

Tiệm cận:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = + \infty ;\)

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} = \mathop {\lim y}\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = - \infty\) 

Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = -1 làm tiệm cận đứng.

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } = \mathop {\lim y}\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = 1;\)

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } = \mathop {\lim y}\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{2x + 2}} = 1\)

Nên đồ thị hàm số nhận đường thẳng y=1 làm tiệm cận ngang.

Đạo hàm: \(y' = \frac{6}{{{{(2x + 2)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Hàm số không có cực trị.

Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điểm I(-1;1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại \(\left ( \frac{1}{2};0 \right )\); cắt Oy tại \(\left ( 0;-\frac{1}{2} \right )\).

Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left ( -2;\frac{5}{2} \right )\).

Đồ thị của hàm số:

-- Mod Toán 12 HỌC247