ADMICRO
AMBIENT
Banner-Video
VIDEO

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{4(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\)

Help me!

Giả sử x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x > y và xy + (x+y)z +z2  =1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{4(x+y)^2}+\frac{1}{(x+z)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}\) 

  bởi thu phương 08/02/2017
ADSENSE
QUẢNG CÁO

Câu trả lời (1)

  • Đặt x + z = a. Từ giả thiết bài toán ta có (x+z)(y+1) = 1, hay y+z = \(\frac{1}{a}\)
    Do x > y nên \(x+z>y+z\). Suy ra a > 1
    Ta có \(x-y=x+z-(y+z)=a-\frac{1}{a}=\frac{a^2-1}{a}\)
    Ta được \(P=\frac{a^2}{4(a^2-1)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2=\frac{a^2}{4(a^2-1)^2}+\frac{3a^2}{4}+(\frac{a^2}{4}+\frac{1}{a^2})\)
    \(\geq \frac{a^2}{4(a^2-1)^2}+\frac{3a^2}{4}+1\) (1)
                                                     
    Đặt \(a^2=t>1\). Xét hàm số \(f(t)=\frac{t}{4(a^2-1)^2}+\frac{3t}{4}+1\)
    Ta có \(f'(t)=\frac{-t-1}{4(t-1)^3}+\frac{3}{4},f'(t)=0\Leftrightarrow (t-2)(3t^2-3t+2)=0\Leftrightarrow t=2\)
    Bảng biến thiên 

    Từ bảng biến thiên suy ra f(t) \(\geq\) 3  với mọi t >1 
    Từ (1) và (2) suy ra P \(\geq\) 3, dấu bằng đạt được tại \(\left\{\begin{matrix} x+z=\sqrt{2}\\ y+z=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix}\right.\)
    Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 3. 

      bởi thanh duy 09/02/2017
    Like (0) Báo cáo sai phạm

Nếu bạn hỏi, bạn chỉ thu về một câu trả lời.
Nhưng khi bạn suy nghĩ trả lời, bạn sẽ thu về gấp bội!

Lưu ý: Các trường hợp cố tình spam câu trả lời hoặc bị báo xấu trên 5 lần sẽ bị khóa tài khoản

Gửi câu trả lời Hủy

 

 
 

Các câu hỏi có liên quan

YOMEDIA