Giải bài tập SGK Chương 3 Hình học 12 Cơ bản & Nâng cao

Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1)

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7)

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Lập phương trình của mặt cầu (S).

c) Lập phương trình của mặt phẳng (\(\alpha\)) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.

b) Tính chiều cao AH của tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa AB và song song với CD.

Lập phương trình tham số của đường thẳng:

a) Đi qua hai điểm A(1;0;-3), B(2;-1;0)

b) Đi qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng \(\Delta\) có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=3-4t\\ z=-5t \end{matrix}\right.\)

Cho mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 và mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C). Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình 3x + 5y - z - 2 = 0 và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)

a) Tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng \((\alpha )\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) chứa điểm M và vuông góc với đường thẳng d.

Cho điểm A(-1;2;-3), vecto \(\vec{a}=(6;-2;-3)\) và đường thẳng d có phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t \end{matrix}\right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) chứa điểm A và vuông góc với \(\vec a.\)

b) Tìm giao điểm của d và (\(\alpha\)).

c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm A, vuông góc với \(\vec{a}\) và cắt đường thẳng d.

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với mặt cầu

\((S): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0\)

và song song với hai đường thẳng \(d:\left\{\begin{matrix} x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t \end{matrix}\right.;d':\left\{\begin{matrix} x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8 \end{matrix}\right.\)

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M(1; -1; 2) trên mặt phẳng \((\alpha )\): 2x – y + 2z + 11 = 0.

Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng \((\alpha )\): x + 3y – z – 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua \((\alpha )\).

Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng toạ độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng: \(d:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=-4+t\\ z=3-t \end{matrix}\right.; d':\left\{\begin{matrix} x=1-2t\\ y=-3+t\\ z=4-5t \end{matrix}\right.\)​

Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với điểm A(1; -2; -5) qua đường thẳng có phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t \end{matrix}\right.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)​

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) \(\left | \vec{a} \right |=\sqrt{2}\)

(B) \(\left | \vec{c} \right |=\sqrt{3}\)

(C) \(\vec{a}\perp \vec{b}\)

(D) \(\vec{b}\perp \vec{c}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a = ( - 1;1;0);\overrightarrow b = \left( {1;1;0} \right);\overrightarrow c = \left( {1;1;1} \right).\)​

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) \(\vec{a}.\vec{c}=1\)

(B) \(\vec{a},\vec{b}\) cùng phương

(C) \(cos(\vec{b},\vec{c})=\frac{2}{\sqrt{6}}\)

(D) \(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}\)

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ \(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\)

Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:

(A) \((0 ; 1 ; 0)\)

(B) \((1 ; 0 ; 0)\)

(C) \((1 ; 0 ; 1)\)

(D) \((1 ; 1 ; 0)\).

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;

(C) \(AB ⊥ CD\) ;

(D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD. Toạ độ điểm G là trung điểm của MN là:

(A) \(G\left ( \frac{1}{3} ; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}\right )\)

(B) \(G\left ( \frac{1}{4} ; \frac{1}{4}; \frac{1}{4}\right )\)

(C) \(G\left ( \frac{2}{3};\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right )\)

(D) \(G\left ( \frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1); D(1;1;1).

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có bán kính là:

(A) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(B) \(\sqrt{2}\)

(C) \(\sqrt{3}\)

(D) \(\frac{3}{4}\)

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(0;0;-1) và song song với giá của hai vecto \(\vec{a}=(1;-2;3)\) và \(\vec{b}=(3;0;5)\).

Phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) là:

(A) 5x - 2y - 3z - 21 = 0

(B) -5x + 2y + 3z + 3 = 0

(C) 10x - 4y - 6z + 21 = 0

(D) 5x - 2y - 3z + 21 = 0

Cho ba điểm A(0; 2; 1), B(3; 0; 1), C(1; 0; 0). Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

(A) 2x – 3y – 4z + 2 = 0

(B) 2x + 3y – 4z – 2 = 0

(C) 4x + 6y – 8z + 2 = 0

(D) 2x – 3y – 4z + 1 = 0

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại ba điểm M(8; 0; 0), N(0; -2; 0), P(0; 0; 4). Phương trình của \((\alpha )\) là:

(A) \(\frac{x}{8}-\frac{y}{-2}+\frac{z}{4}=0\)

(B) \(\frac{x}{4}+\frac{y}{-1}+\frac{z}{2}=0\)

(C) \(x-4y+2z=0\)

(D) \(x-4y+2z-8=0\)

Cho ba mặt phẳng

\((\alpha ): x+y+2z+1=0\)

\((\beta ): x+y-z+2=0\)

\((\gamma): x-y+5=0\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) \((\alpha )\perp (\beta )\)

(B) \((\gamma )\perp (\beta )\)

(C) \((\alpha ) // (\gamma )\)

(D) \((\alpha ) \perp (\gamma )\)

Cho đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm M(2; 0; -1) và có vecto chỉ phương \(\vec{a}=(4;-6;2)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta\) là:

(A) \(\left\{\begin{matrix} x=-2+4t\\ y=-6t\\ z=1+2t \end{matrix}\right.\)

(B) \(\left\{\begin{matrix} x=-2+2t\\ y=-3t\\ z=1+t \end{matrix}\right.\)

(C) \(\left\{\begin{matrix} x=2+2t\\ y=-3t\\ z=-1+t \end{matrix}\right.\)

(D) \(\left\{\begin{matrix} x=4+2t\\ y=-6-3t\\ z=2+t \end{matrix}\right.\)

Cho d là đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):4x+3y-7z+1=0\)

Phương trình tham số của d là:

(A) \(\left\{\begin{matrix} x=-1+4t\\ y=-2+3t\\ z=-3-7t \end{matrix}\right.\)

(B) \(\left\{\begin{matrix} x=1+4t\\ y=2+3t\\ z=3-7t \end{matrix}\right.\)

(C) \(\left\{\begin{matrix} x=1+3t\\ y=2-4t\\ z=3-7t \end{matrix}\right.\)

(D) \(\left\{\begin{matrix} x=-1+8t\\ y=-2+6t\\ z=-3-14t \end{matrix}\right.\)

Cho hai đường thẳng: \(d_1:\left\{\begin{matrix} x=1+2t\\ y=2+3t\\ z=3+4t \end{matrix}\right.\) và \(d_2:\left\{\begin{matrix} x=3+4t'\\ y=5+6t'\\ z=7+8t' \end{matrix}\right.\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) \(d_1\perp d_2\)

(B) \(d_1 // d_2\)

(C) \(d_1 \equiv d_2\)

(D) \(d_1\) và \(d_2\) chéo nhau.

Cho mặt phẳng \((\alpha ): 2x+y+3z+1=0\) và đường thẳng d có phương trình tham số: \(\left\{\begin{matrix} x=-3+t\\ y=2-2t\\ z=1 \end{matrix}\right.\). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? 

(A) \(d\perp (\alpha )\)

(B) \(d\) cắt \((\alpha )\)

(C) \(d\) // \((\alpha )\)

(D) \(d \subset (\alpha )\)

Cho (S) là mặt cầu tâm I(2;1;-1) và tiếp tục với mặt phẳng \((\alpha)\) có phương trình: \(2x-2y-z+3=0\).

Bán kính của (S) là:

(A) 2

(B) \(\frac{2}{3}\)

(C) \(\frac{4}{3}\)

(D) \(\frac{2}{9}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 - t\\
y = 1 + 4t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 1 + t'}\\
{y =  - 3 + 4t'}\\
{z = 2 - 3t'}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 2 - t}\\
{y = 1 + 4t}\\
{z = 1 - t}
\end{array}} \right.\) và song song với d₁: \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

(P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 2x + y + 2z  +5 = 0.

Cho hai mặt phẳng:

(P₁): 2x + y + 2z  +1 = 0  và  (P₂): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ mỗi điểm của nó đến (P₁) và (P₂) là bằng nhau.

Cho hai đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 6}\\
{y =  - 2t}\\
{z = 7 + t}
\end{array}} \right.\) và d₁: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 2 + t'}\\
{y =  - 2}\\
{z =  - 11 - t'}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Lập phương trình tham số của đường thẳng d  đi qua hai điểm phân biệt M0(x₀ ;y₀; z₀) và M₁(x₁, y₁, z₁).

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và vuông góc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0.

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M₀(x₀, y₀, z₀) và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (P) Ax + By + Cz + D = 0  và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 9}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - 3 + 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z =  - 1 + 4t}
\end{array}} \right.\)

Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 0), B(0; 0; 8) và điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = (0;6;0)\). Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA.

Cho hình lập phương ABCD.A₁B₁C₁D₁ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB₁, CD, A₁D₁. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và C₁N.

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(1; 1; 1), \(C\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)\)

a) Viết phương trình tổng quát  của mặt phẳng (α) đi qua O và vuông góc với OC.

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) chứa AB và vuông góc với (α).

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (β) : x + 3ky – z + 2 = 0  và (γ) : kx – y + z + 1 = 0

Tìm k để giao tuyến của (β) và (γ) vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):x--y--2z + 5 = 0.\)

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A’(0; 0; b)  với a > 0 và b> 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’.

Xác định tỉ số \(\frac{a}{b}\) để hai mặt phẳng (A’BD) và (MBD) vuông góc với nhau.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), \(S(0;0;2\sqrt 2 )\). Gọi M là trung điểm cạnh SC.

a) Viết phương trình mặt phẳng chứa SA và song song với BM.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM.

Cho mặt phẳng (P):  2x – 3y  + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):

x² + y² + z² + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

b) Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C).

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0 ; -1), D(4; 1; 0). Gọi (S) là mặt cầu  đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Cho hai đường thẳng \({{\rm{\Delta }}_1}:\frac{x}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{4}\)  và \({{\rm{\Delta }}_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ₁ và song song với Δ₂

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng Δ₂ sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (α).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S).

Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; - 3; 0), P(0; 0; 4). Nếu MNPQ là một hình bình hành thì tọa độ điểm Q là:

(A) (-2; -3; 4)

(B) (3; 4; 2)

(C) (2; 3; 4)

(D) (-2; -3; -4)

Cho ba điểm A(1;2;0),B(1;0;−1),C(0;−1;2). Tam giác ABC là:

(A) Tam giác cân đỉnh A;       

(B) Tam giác vuông đỉnh A;

(C) Tam giác đều;

(D) Không phải như (A), (B), (C).

Cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao tam giác kẻ từ C là:

(A) \(\sqrt {26} \)

(B) \(\frac{{\sqrt {26} }}{2}\)

(C) \(\frac{{\sqrt {26} }}{3}\)

(D) 26

Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1); (2;3;4); (6;5;2). Diện tích hình bình hành đó bằng:

(A) \(2\sqrt {83} \)

(B) \(\sqrt {83} \)$$

$$(C) 83

(D) \(\frac{{\sqrt {83} }}{2}\)

Cho A(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1) và D(−2;1;−1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

(A) 1

(B) 2

(C) \(\frac{1}{3}\)

(D) \(\frac{1}{2}\)

Cho A(−1;−2;4); B(−4;−2;0); C(3;−2;1) và D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD kẻ từ đỉnh D là:

(A) 3

(B) 1

(C) 2

(D) 

Cho bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2) và D(2;2;1). Tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

(A) \(\left( {\frac{3}{2}, - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\)

(B) \(\left( {\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\)

(C) \(\left( {3;3;3} \right)\)

(D) \(\left( {3; - 3;3} \right).\)

Bán kính mặt cầu tâm I(3;3;-4) tiếp xúc với trục Oy bằng:

(A) 5

(B) 4

(C) \(\sqrt 5 \)

(D) \(\frac{5}{2}.\)

Mặt cầu tâm I(2;1;−1) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oyz) có phương trình là:

(A) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4;\)

(B) \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 1;\)

(C) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4;\)

(D) \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2.\)

Cho ba điểm A(1;1;3), B(−1;3;2) và C(−1;2;3). Mặt phẳng (ABC) có phương trình là:

(A) \(x + 2y + 2z - 3 = 0\)

(B) \(x - 2y + 3z - 3 = 0\)

(C) \(x + 2y + 2z - 9 = 0\)

(D) \({x^2} + 2y + 2z + 9 = 0\)

Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),\,\,B\left( {0;2;0} \right),\,\,C\left( {0;0;3} \right).\) Phương trình nào sau đây không phải là phương trình mặt phẳng (ABC)?

(A) \(x + {y \over 2} + {z \over 3} = 1;\)

(B) \(6x + 3y + 2z - 6 = 0;\)

(C) \(6x + 3y + 2z + 6 = 0;\) 

(D) \(12x + 6y + 4z - 12 = 0.\)

Cho hai điểm \(A\left( {1;3; - 4} \right)\) và \(B\left( { - 1;2;2} \right)\). Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB là:

(A) \(4x + 2y - 12z - 17 = 0;\) 

(B) \(4x + 2y + 12z - 17 = 0;\)

(C) \(4x - 2y - 12z - 17 = 0;\) 

(D) \(4x - 2y + 12z + 17 = 0.\)

Cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), a, b, c là những số dương thay đổi sao cho \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2\)$\mathrm{.}$ Mặt phẳng (ABC) luôn đi qua một điểm cố định có tọa độ là:

(A) (1; 1; 1)

(B) (2; 2; 2)

(C) \(\left( {\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)\)

(D) \(\left( { - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}} \right)\)

Cho điểm A(−1;2;1) và hai mặt phẳng (P): 2x+4y−6z−5 = 0 và (Q) : x+2y−3z = 0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Mp(Q) qua A và song song với (P);

(B) Mp(Q) không qua A và song song với (P);

(C) Mp(Q) qua A và không song song với (P);

(D) Mp(Q) không qua A và không song song với (P).

Cho điểm A(1;2;−5). Gọi M, N, P là hình chiếu của A lên ba trục Ox, Oy, Oz. Phương trình mặt phẳng (MNP) là:

(A) \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} = 1;\)

(B) \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{5} = 1;\)

(C) \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} = 0;\)

(D) \(x + \frac{y}{2} - \frac{z}{5} + 1 = 0.\)

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) - 22 = 0\) và mặt phẳng \(3x - 2y + 6z + 14 = 0\)$\mathrm{.}$ Khoảng cách từ tâm I của mặt cầu (S) tới mặt phẳng (P) là:

(A 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4.

Mặt phẳng (P) cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C, trọng tâm tam giác ABC là G(−1;−3;2). Phương trình mặt phẳng (P) là:

(A) \(x + y - z - 5 = 0;\)

(B) \(2x - 3y - z - 1 = 0;\)

(C) \(x + 3y - 2z + 1 = 0;\)

(D) \(6x + 2y - 3z + 18 = 0.\)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (A’MD).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Kéo dài DM cắt AB tại E. Khi đó

A(0;0;0), E(2;0;0), D(0;1;0), A′(0;0;1)

Bước 2. Viết phương trình mặt phẳng (A’MD):

\(\frac{x}{2} + \frac{y}{1} + \frac{z}{1} = 1 \Leftrightarrow x + 2y + 2z - 2 = 0.\)

Bước 3. Khoảng cách 

\(d\left( {A;\left( {A'MD} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \frac{2}{3}.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3.

Cho hai điểm A(1;−1;5) và B(0;0;1). Mặt phẳng (P) chứa A, B và song song với Oy có phương trình là:

(A) 4x−z+1 = 0 

(B) 4x+y−z+1 = 0

(C) 2x+z−5 = 0

(D) y+4z−1 = 0

Mặt phẳng (P) chứa trục Oz và điểm A(2;−3;5) có phương trình là:

(A) 2x+3y = 0

(B) 2x−3y = 0

(C) 3x+2y = 0

(D) 3x−2y+z = 0

Cho mặt phẳng (P) có phương trình x−y−1 = 0. Điểm H(2;−1;−2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O trên một mặt phẳng (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là:

(A) 30 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(B) 45 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(C) 60 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(D) 90⁰

Cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng \(d:\frac{x}{3} = \frac{{y - 1}}{4} = z + 3\). Phương trình mặt phẳng (A,d) là:

(A) 23x+17y−z+14 = 0

(B) 23x−17y−z+14 = 0

(C) 23x+17y+z−60 = 0

(D) 23x−17y+z−14 = 0

Cho hai đường thẳng

\({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 3}}{3};\,{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + 4t}\\
{z = 2 + 6t.}
\end{array}} \right.\)

Khẳng định nào sau đây là đúng?

(A) d₁, d₂ cắt nhau

(B) d₁, d₂ trùng nhau

(C) d₁ // d₂ 

(D) d₁, d₂ chéo nhau.

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 3y + z + 1 = 0\) và đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 - t}\\
{z = 2 - 3t}
\end{array}} \right.\)

Tọa độ giao điểm A của d và \(\left( \alpha  \right)\)$$ là:

(A) A(3; 0; 4)

(B) A(3;−4;0)

(C) A(−3;0;4)

(D) A(3;0;−4)

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z = 2 + t.}
\end{array}} \right.\)

Phương trình nào sau đây cũng là phương trình của đường thẳng d?

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 2t}\\
{y =  - t}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 - 2t}\\
{y =  - 1 + t}\\
{z = 4 - t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 4 + 2t}\\
{y = 1 - t}\\
{z = 4 + t}
\end{array}} \right.\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\)

Cho hai điểm A(2;3;−1), B(1;2;4) và ba phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
\left( I \right)\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 3 - t\\
z =  - 1 + 5t
\end{array} \right.\\
\left( {II} \right)\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 5}}\\
\left( {III} \right)\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = 2 - t\\
z = 4 + 5t
\end{array} \right.
\end{array}\)

Mệnh đề nào sau đây là đúng?

(A) Chỉ có (I) là phương trình của đường thẳng AB;

(B) Chỉ có (III) là phương trình của đường thẳng AB;

(C) Chỉ có (I) và (II) là phương trình của đường thẳng AB;

(D) Cả (I), (II) và (III) là phương trình của đường thẳng AB.

Cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC).

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Tọa độ trong tâm G của tam giác ABC là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_G} = \frac{{1 + 1 + 1}}{3} = 1}\\
{{y_G} = \frac{{3 + 2 + 1}}{3} = 2}\\
{{z_G} = \frac{{2 + 1 + 3}}{3} = 2.}
\end{array}} \right.\)

Bước 2: Vectơ pháp tuyến của mp(ABC) là 

\(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 3;1;0} \right).\)

Bước 3: Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 3t\\
y = 2 + t\\
z = 2
\end{array} \right.\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3.

Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng

\({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2 - t}\\
{z = 1 - 3t.}
\end{array}} \right.\)

Phương trình của d là:

(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t}\\
{y = 3t}\\
{z =  - t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{y =  - 3t}\\
{z =  - t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\frac{x}{1} = \frac{y}{3} = \frac{z}{{ - 1}}\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y =  - 3t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 3 + 4t}\\
{y =  - 1 - t}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right.\) 

Và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - z + 3 = 0\)$\mathrm{.}$ 

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

(A) d song song với (P)

(B) d cắt (P)

(C) d vuông góc với (P)

(D) d nằm trên (P)

Cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 6 - 4t \hfill \cr 
y = - 2 - t \hfill \cr 
z = - 1 + 2t\,. \hfill \cr} \right.\)

Hình chiếu của A trên d có tọa độ là

(A) \(\left( {2; - 3;1} \right);\)                    (B) \(\left( {2; - 3; - 1} \right);\)

(C) \((2; 3; 1)\);                          (D) \(\left( { - 2;3;1} \right).\)

Cho tứ diện ABCD có A(1; 0; 0), B(1; 1; 0), C(0; 1; 0) và D(0; 0; 2).

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD.

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC}  = \left( { - 1;1;0} \right)\\
\overrightarrow {BD}  = \left( { - 1; - 1;2} \right),\overrightarrow {AB}  = \left( {0;1;0} \right).
\end{array}\)

Bước 2: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {2;2;2} \right)\)

Bước 3: 

\(\begin{array}{l}
d\left( {AC,BD} \right) = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right].\overrightarrow {AB} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right|}}\\
 = \frac{2}{{\sqrt {12} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.
\end{array}\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3

Cho \(\left| {\vec u} \right| = 2,\left| {\vec v} \right| = 1,\left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{\pi }{3}\)$.$ 

Góc giữa vectơ \(\vec u\) và \(\vec u - \vec v\) bằng:

(A) 30 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(B) 45⁰         

(C) 60 ⁰ ${\mathrm{}}^{}$

(D) 90⁰

Cho \(\left| {\vec u} \right| = 2,\left| {\vec v} \right| = 5,\left( {\vec u,\vec v} \right) = \frac{\pi }{6}\)$.$ Độ dài vectơ \(\left[ {\vec u,\vec v} \right]\) bằng: 

(A) 10

(B) 5             

(C) 8

(D) \(5\sqrt 3 \)

Mặt phẳng \(2x - 3y + z - 1 = 0\) cắt các trục tọa độ tại các điểm:

(A) \(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),\left( {0; - \frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0;1} \right)\)

(B) \(\left( {1;0;0} \right),\left( {0;\frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0;1} \right)\)

(C) \(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),\left( {0;\frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0;1} \right)\)

(D) \(\left( {\frac{1}{2};0;0} \right),\left( {0; - \frac{1}{3};0} \right),\left( {0;0; - 1} \right)\)

Cho đường thẳng 

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x =  - \frac{9}{5} - t}\\
{y = 5t}\\
{z = \frac{7}{5} + 3t}
\end{array}} \right.\) 

Và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 2y + 3z - 1 = 0\)$\mathrm{.}$ 

Gọi d’ là hình chiếu của d trên (P). Trong các vectơ sau, vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của d’ ?

(A) (5;−51;39)

(B) (10;−102;−78)

(C) (−5;51;39)

(D) (5;51;39)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng \(AC' \bot \left( {MNP} \right).\)

Một học sinh làm như sau:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ như hình 71;

Khi đó A(0; 0; 0), C’(1; 1; 1),

\(M = \left( {\frac{1}{2};0;1} \right),N\left( {1;\frac{1}{2};0} \right),P\left( {0;1;\frac{1}{2}} \right).\)

Bước 2:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC'}  = \left( {1;1;1} \right),\overrightarrow {MN}  = \left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}; - 1} \right)\\
\overrightarrow {MP}  = \left( { - \frac{1}{2};1; - \frac{1}{2}} \right).
\end{array}\)

Bước 3: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {AC\prime } .\overrightarrow {MN}  = 0\\
\overrightarrow {AC\prime } .\overrightarrow {MP}  = 0
\end{array} \right. \Rightarrow AC\prime  \bot (MNP).\)

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

(A) Đúng

(B) Sai ở bước 1

(C) Sai ở bước 2

(D) Sai ở bước 3

Cho đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 2 - t}
\end{array}} \right.\)

Phương trình đường vuông góc chung của d và trục Ox là:
(A) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

(B) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 2t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

(C) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 2 - t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

(D) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\)

Cho mặt phẳng (P) : x−2y−3z+14 = 0 và điểm M(1;−1;1). Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua mp(P) là

(A) (−1;3;7)                  

(B) (1;−3;7)

(C) (2;−3;−2)

(D) (2;−1;1).

Cho điểm A(0;−1;3) và đường thẳng

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = 2}\\
{z =  - t}
\end{array}} \right.\)

Khoảng cách từ A đến d bằng:

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) \(\sqrt {14} \)           

(C) \(\sqrt 6 \)

(D) \(\sqrt 8 \)

Cho điểm M(−1;2;−3). Gọi M₁, M₂, M₃ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các mặt phẳng (Oxy), (Oxz), (Oyz). Phương trình mp(M₁M₂M₃) là:

(A) 6x+2y+3z+6 = 0 

(B) 6x−2y+3z+6 = 0

(C) 6x−3y+2z+6 = 0

(D) 6x−3y−2z+6 = 0

Cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 49\)$\mathrm{.}$ 

Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) ?

(A) 6x+2y+3z = 0

(B) 2x+3y+6z−5 = 0

(C) 6x+2y+3z−55 = 0

(D) x+2y+2z−7 = 0

Cho mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\)$\mathrm{.}$ 

Trong ba điểm (0; 0; 0); (1; 2; 3), (2; -1; -1), có bao nhiêu điểm nằm trong mặt cầu (S) ?

(A) 0

(B) 1                  

(C) 2

(D) 3.