Bài tập 12 trang 93 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Để tìm điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng \(\Delta\) ta thực hiện các bước sau:

• Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A lên \(\Delta\):
  • Viết phương trình mặt phẳng \(\left ( \alpha \right )\) đi qua A và vuông góc với \(\Delta\).
  • Tìm giao điểm H của \(\left ( \alpha \right )\) và \(\Delta\).
• Điểm H vừa tìm được chính là trung điểm của A và A'.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết bài 12 như sau:

Đường thẳng \(\Delta\) có vecto chỉ phương \(\vec{a}=(2;-1;2)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng qua A và vuông góc với \(\Delta\) thì \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\vec{n}=\vec{a}=(2;-1;2)\) do đó phương trình mp\((\alpha )\) là:

\(2(x-1)-(y+2)+2(z+5)=0\)

\(\Leftrightarrow 2x-y+2z+6=0\)  (1)

Hình chiếu H của A lên \(\Delta\) là giao điểm của \(\Delta\) và \((\alpha )\).

Thay x = 1 + 2t, y = -1 - t, z = 2t vào (1) ta được:

\(2(1+2t)-(-1-t)+4t+6=0\Leftrightarrow 9t+9=0\Leftrightarrow t=-1\)

Khi đó x = -1, y = 0; z = -2

Vậy H(-1; 0; -2)

Vì A' là điểm đối xứng của A qua \(\Delta\) nên:

\(\overrightarrow {AA'} = 2\overrightarrow {AH} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{A'}} - 1 = 2( - 1 - 1)}\\ {{y_{A'}} + 2 = 2(0 + 2)}\\ {{z_{A'}} + 5 = 2.( - 2 + 5)} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{A'}} = - 3}\\ {{y_{A'}} = 2}\\ {{z_{A'}} = 1} \end{array}} \right.\)

Vậy điểm đối xứng với A qua đường thẳng \(\Delta\) là A'(-3; 2; 1).

-- Mod Toán 12 HỌC247