Giải bài 3 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12
Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:
a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt u= x+1)
b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) ) (Đặt x = sint )
c) \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))
d) \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))
Hướng dẫn giải chi tiết bài 3
Câu a:
Đặt u= x+1 ta có du = dx; x2 = (u - 1)2
Khi x = 0 thì u = 1; khi x = 3 thì u = 4. Khi đó :
\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx= \int_{1}^{4}\frac{(u-1)^{2}}{u^{\frac{3}{2}}}du =\int_{1}^{4}\frac{u^{2}-2u+1}{u^{\frac{3}{2}}}du\)
\(\int_{1}^{4}(u^{\frac{1}{2}}-2u^{\frac{1}{2}}+u^{\frac{3}{2}})du= \int_{1}^{4}u^{\frac{1}{2}}du -2\int_{1}^{4}u^{\frac{1}{2}}du+ \int_{1}^{4}u^{\frac{3}{2}}du\)
\(=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} \Bigg| ^4_1-4u^{\frac{1}{2}}\Bigg| ^4_1- 2u\Bigg| ^4_1=\frac{16}{3}-\frac{2}{3}-(8-4)-2(\frac{1}{2}-1)\)
\(=\frac{14}{3}-3=\frac{5}{3}\)
Câu b:
Đặt x = sint ta có: dx = costdt
Khi x = 0 thì t = 0; khi x = 1 thì \(t=\frac{\pi }{2}\). Do đó:
\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-sin^2 t}cos tdt\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi }{3}}\left | cos t \right |.cos t dt = \int_{0}^{\frac{\pi }{3}}cos^2 t dt\) (Vì \(cos t \geq 0, \forall t \in \left [ 0; \frac{\pi }{2} \right ]\))
\(\Rightarrow \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx = \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos^2t dt= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}} (1+cos 2t)dt\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}dt +\frac{1}{4}\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos 2t dt =\frac{1}{2}t \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}+\frac{1}{4}sin 2t \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}\)
\(=\frac{\pi }{4}+0= \frac{\pi }{4}\)
Vậy \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi }{4}.\)
Câu c:
Đặt \(u=x.e^x\) ta có: \(du=(e^x+x.e^x)dx=e^x(x+1)dx\)
Khi x = 0 thì u = 0; khi x = 1 thì u = e
Do đó: \(\int_{0}^{1}\frac{e^x(x+1)}{1+x.e^x}dx=\int_{0}^{e}\frac{du}{1+u}= ln(1+u) \Bigg|^e_0=ln(e+1)\)
Câu d:
Đặt x = a sint ta có: dx = acost dt
Khi x = 0 thì t = 0; khi \(x=\frac{a}{2}\) thì \(t=\frac{\pi }{6}\). Do đó:
\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{acos t dt}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{a.cost dt}{\left | a cos t \right |}\)
Vì a > 0 và \(cos t \geq 0, \forall t \in \left [ 0; \frac{\pi }{6} \right ]\)
Nên \(\int_{0}^{\frac{\pi }{6}}\frac{a.cos t .dt}{a.cost}= \int_{0}^{\frac{\pi }{6}}dt =t \Bigg|^{\frac{\pi }{6}}_0=\frac{\pi }{6}\)
Vậy \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{\pi }{6}.\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 3 SGK
Bài tập SGK khác
Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.22 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.23 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.24 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.25 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.26 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.28 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.27 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.29 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.30 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 162 SGK Toán 12 NC
-
Hãy tính tích phân cho sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_0^\pi {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \) (đặt \(x = \pi - t\))
bởi Thanh Truc 25/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính tích phân cho sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))
bởi Mai Vi 26/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính tích phân cho sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))
bởi minh vương 26/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính tích phân cho sau bằng phương pháp đổi biến: \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \) (đặt \(t = 1 - x\))
bởi Cam Ngan 26/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Thực hiện tính tích phân sau đây: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{3}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{{3\pi }}{2}} {\cos 3xdx} + \int\limits_{\dfrac{{3\pi }}{2}}^{\dfrac{{5\pi }}{2}} {\cos 3xdx} \)
bởi cuc trang 25/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tính tích phân sau đây: \(\int\limits_0^1 {{{({3^s} - {2^s})}^2}ds} \)
bởi Khánh An 25/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tính tích phân sau đây: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {(2\cos x - \sin 2x)dx} \)
bởi Song Thu 25/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tính tích phân sau đây: \(\int\limits_1^4 {(t + \dfrac{1}{{\sqrt t }}} - \dfrac{1}{{{t^2}}})dt\)
bởi Trung Phung 26/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện tính tích phân sau đây: \(\int\limits_0^1 {({y^3} + 3{y^2} - 2)dy} \)
bởi Lê Tường Vy 25/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_6}\) và \({I_7}\)
bởi Nguyễn Thị Trang 24/05/2021
Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_6}\) và \({I_7}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_5}\)
bởi Thùy Trang 25/05/2021
Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{\rm{co}}{{\rm{s}}^n}xdx} \). Chứng minh rằng \({I_n} = {{n - 1} \over n}{I_{n - 2}}\). Từ đó hãy tính \({I_5}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \).
bởi thuy tien 25/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} \)
bởi Anh Trần 24/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} \).
bởi Ngoc Son 25/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^\pi {{x^3}\sin xdx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {2x - 1} \right){\rm{cos}}xdx} \).
bởi Nguyen Ngoc 24/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\left( {2x - 1} \right){\rm{cos}}xdx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \)
bởi Spider man 25/05/2021
Hãy tính \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời