Hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân sẽ giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn luyện tốt kiến thức đã học.
-
Bài tập 1 trang 112 SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)
c) \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\)
d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)
e) \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)
g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)
-
Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{0}^{2}\left | 1-x \right |dx\)
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin^{2}x dx\)
c) \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)
d) \(\int_0^\pi \sin 2x\cos ^2xdx\)
-
Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Sử dụng phương pháp biến đổi số, tính tích phân:
a) \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt u= x+1)
b) \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) ) (Đặt x = sint )
c) \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))
d) \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))
-
Bài tập 4 trang 113 SGK Giải tích 12
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\) ;
b) \(\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx\)
c) \(\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx\); ;
d) \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)
- VIDEOYOMEDIA
-
Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);
b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\);
c) \(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\).
-
Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12
Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:
a) Đổi biến số u = 1 - x;
b) Tính tích phân từng phần.
-
Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^1 \left( {{y^3} + 3{y^2} - 2} \right)dy\)
b) \(\int \limits_1^4 \left( {t + \frac{1}{{\sqrt t }} - \frac{1}{{{t^2}}}} \right)dt\)
c) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {2\cos x - \sin 2x} \right)dx\)
d) \(\int \limits_0^1 {\left( {{3^s} - {2^s}} \right)^2}ds\)
e) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{3}} \cos 3xdx + \int \limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{3\pi }}{2}} \cos 3xdx + \int \limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{5\pi }}{2}} \cos 3xdx\)
-
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) \(\int \limits_1^2 x{\left( {1 - x} \right)^5}dx\) (đặt t = 1−x)
b) \(\int \limits_0^{\ln 2} \sqrt {{e^x} - 1} dx\) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))
c) \(\int \limits_1^9 x\sqrt[3]{{1 - x}}dx\) (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))
d) \(\int \limits_0^\pi \frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx\) (đặt \(x = \pi - t\))
e) \(\int \limits_{ - 1}^1 {x^2}{\left( {1 - {x^3}} \right)^4}dx\)
-
Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12
Áp dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos 2xdx\)
b) \(\int \limits_0^{\ln 2} x{e^{ - 2x}}dx\)
c) \(\int \limits_0^1 \ln (2x + 1)dx\)
d) \(\int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x - 1} \right)} \right] - \ln \left( {x + 1} \right)dx} \)
e) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^2 \left( {1 + x - \frac{1}{x}} \right){e^{x + \frac{1}{x}}}dx\)
g) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos x{\sin ^2}xdx\)
-
Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau đây:
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)dx\)
b) \(\int \limits_0^1 \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}\left( {x + 1} \right)dx\)
c) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}dx\)
d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}\)
-
Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12
Chứng minh rằng hàm số
cho bởi \(\int \limits_0^x \frac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt,x \in R\) là hàm số chẵn. -
Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng
\(\int \limits_{ - a}^a f\left( x \right)dx = \left\{ \begin{array}{l}
2\int \limits_0^a f\left( x \right)\\
0
\end{array} \right.\)nếu \(f\) chẵn hoặc \(f\) lẻ.
Áp dụng để tính \(\int \limits_{ - 2}^2 \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx\)
-
Bài tập 3.22 trang 172 SBT Toán 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng
\(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\sin x} \right)dx = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {\cos x} \right)dx\)
-
Bài tập 3.23 trang 172 SBT Toán 12
Đặt \({I_n} = \int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin ^n}xdx,n \in {N^ * }.\)
a) Chứng minh rằng \({I_n} = \frac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2\)
b) Tính
và -
Bài tập 3.24 trang 172 SBT Toán 12
Khẳng định nào dưới đây đúng?
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin xdx + \int \limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} \sin xdx + \int \limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{2\pi } \sin xdx = 0\)
b) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sqrt[3]{{\sin x}} - \sqrt[3]{{\cos x}}dx = 0\)
c) \(\int \limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \ln \frac{{1 - x}}{{1 + x}}dx = 0\)
d) \(\int \limits_0^2 \left( {\frac{1}{{1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1} \right)dx = 0\)
-
Bài tập 3.25 trang 173 SBT Toán 12
Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:
\(\int \limits_0^{2\pi } \left| {\sin x} \right|dx\)
A. \(\int \limits_0^{2\pi } \sin xdx\)
B. \(\int \limits_0^\pi 2\sin xdx\)
C. \(\int \limits_0^\pi \sin xdx - \int \limits_0^{2\pi } \sin xdx\)
D. \( - \int \limits_\pi ^{2\pi } 2\sin xdx\)
-
Bài tập 3.26 trang 173 SBT Toán 12
\(\int \limits_{ - 1}^1 \left| {x - {x^3}} \right|dx\) bằng:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. 2
C. -1
D. 0
-
Bài tập 3.28 trang 173 SBT Toán 12
\(\int \limits_1^e \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx\) bằng?
A. \( - 1 - \frac{1}{e}\)
B. \(1 - \frac{2}{e}\)
C. \( - 1 + \frac{2}{e}\)
D.
-
Bài tập 3.27 trang 173 SBT Toán 12
\(\int \limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{\sin 2x\sin x}}{2} + {{\cos }^3}x} \right)dx\) bằng
A. 2
B. \(2\pi \)
C.
\(\pi \)D.
-
Bài tập 3.29 trang 173 SBT Toán 12
Đối với tích phân \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx\), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\), ta được:
A. \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} tdt\)
B. \(\int \limits_{ - 1}^0 tdt\)
C. \(\int \limits_0^1 tdt\)
D. \( - \int \limits_0^1 tdt\)
-
Bài tập 3.30 trang 173 SBT Toán 12
\(\int \limits_0^1 \sin \sqrt x dx\) bằng
A. \(2(\sin 1 - \cos 1)\)
B. \(2(\cos 1 - \sin 1)\)
C. \(\sin 1 - \cos 1\)
D. \(2(\sin 1 + \cos 1)\)
-
Bài tập 10 trang 152 SGK Toán 12 NC
Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:
\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_{ - 2}^4 {\left( {\frac{x}{2} + 3} \right)dx} \\
b)\int \limits_{ - 1}^2 \left| x \right|dx\\
c)\int \limits_{ - 3}^3 \sqrt {9 - {x^2}} dx
\end{array}\) -
Bài tập 11 trang 152 SGK Toán 12 NC
Cho biết \(\int \limits_1^2 f\left( x \right)dx = - 4,\int\limits_1^5 {f(x)dx} = 6,\int\limits_1^5 {g(x)dx} = 8.\) Hãy tính
\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_2^5 {f(x)dx} \\
b)\int\limits_1^2 {3f(x)dx} \\
c)\int\limits_1^5 {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} \\
d)\int\limits_1^5 {\left[ {4f(x) - g(x)} \right]dx}
\end{array}\) -
Bài tập 12 trang 153 SGK Toán 12 NC
Cho biết \(\int\limits_0^3 {f\left( z \right)dz} = 3,\int\limits_0^4 {f\left( x \right)} dx = 7.\). Hãy tính \(\int \limits_3^4 f\left( t \right)dt.\)
-
Bài tập 13 trang 153 SGK Toán 12 NC
a) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge 0\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge 0.\)
b) Chứng minh rằng nếu \(f(x) \ge g(x)\) trên [a; b] thì \(\int \limits_a^b f\left( x \right)dx \ge \int \limits_a^b g\left( x \right)dx\)
-
Bài tập 14 trang 153 SGK Toán 12 NC
a) Một vật chuyển động với vận tốc v(t) = 1 − 2sin2t (m/s). Tính quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t = 0 (s) đến thời điểm \(t = \frac{{3\pi }}{4} \left( s \right)\)
b) Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 160 − 10t (m/s). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm t = 0 đến thời điểm mà vật dừng lại.
-
Bài tập 15 trang 153 SGK Toán 12 NC
Một vật đang chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc a = 3t + t2 (m/s2). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tang tốc.
-
Bài tập 16 trang 153 SGK Toán 12 NC
Một viên đạn được bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 25 m/s. gia tốc trọng trường là 9,8m/s2
a) Sau bao lâu viên đạn đạt tới vận tốc cao nhất.
b) Tính quãng đường viên đạn đi được tính từ lúc bắn lên cho đến khi rơi xuống đất.
-
Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC
Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 \sqrt {x + 1} dx\\
b)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} \frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx\\
c)\int \limits_0^1 {t^3}{\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt\\
d)\int \limits_0^1 \frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx\\
e)\int \limits_0^{\sqrt 3 } \frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx\\
f)\int \limits_0^{\frac{\pi }{6}} \left( {1 - \cos 3x} \right)\sin 3xdx
\end{array}\) -
Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC
Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_1^2 {x^5}\ln xdx\\
b)\int \limits_0^1 \left( {x + 1} \right){e^x}dx\\
c)\int \limits_0^\pi {e^x}\cos xdx\\
d)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\cos xdx
\end{array}\) -
Bài tập 19 trang 161 SGK Toán 12 NC
Tính
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 \sqrt {{t^5} + 2t} \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt\\
b)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} x\sin {\rm{xcosx}}dx
\end{array}\) -
Bài tập 20 trang 161 SGK Toán 12 NC
Tính
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^\pi 5{\left( {5 - 4\cos t} \right)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt\\
b)\int \limits_0^{\sqrt 3 } \frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}
\end{array}\) -
Bài tập 21 trang 161 SGK Toán 12 NC
Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{{\sin x}}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\). Khi đó \(\int \limits_1^3 \frac{{\sin 2x}}{x}dx\) là
(A) F(3) − F(1)
(B) F(6) − F(2)
(C) F(4) − F(2)
D) F(6) − F(4)
-
Bài tập 22 trang 162 SGK Toán 12 NC
Chứng minh rằng
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \int \limits_0^1 f\left( {1 - x} \right)dx\\
b)\int \limits_{ - 1}^1 f\left( x \right)dx = \int \limits_0^1 \left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx
\end{array}\) -
Bài tập 23 trang 162 SGK Toán 12 NC
Cho \(\int \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3.\) Tính \(\int \limits_{ - 1}^0 f\left( x \right)dx\) trong các trường hợp sau:
a) f là hàm số lẻ;
b) f là hàm số chẵn.
-
Bài tập 24 trang 162 SGK Toán 12 NC
Tính các tích phân sau:
\(\begin{array}{l}
a)\int\limits_1^2 {{x^2}{e^{{x^3}}}dx} \\
b)\int \limits_1^3 \frac{1}{x}{\left( {\ln x} \right)^2}dx\\
c)\int \limits_0^{\sqrt 3 } x\sqrt {1 + {x^2}} dx\\
d)\int \limits_0^1 {x^2}{e^{3{x^3}}}dx\\
e)\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\cos x}}{{1 + {\rm{sinx}}}}dx
\end{array}\) -
Bài tập 25 trang 162 SGK Toán 12 NC
Tính các tích phân sau :
\(\begin{array}{l}
a)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x\cos 2xdx\\
b)\int \limits_0^1 \frac{{\ln \left( {2 - x} \right)}}{{2 - x}}dx\\
c)\int \limits_1^{\frac{\pi }{2}} {x^2}\cos xdx.\\
d)\int \limits_0^{\frac{\pi }{4}} x\cos 2xdx\\
e)\int \limits_1^e {x^2}\ln xdx
\end{array}\)