Giải bài 1 tr 112 sách GK Toán GT lớp 12
Tính các tích phân sau:
a)\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)
b) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx\)
c) \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\)
d) \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)
e) \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)
g) \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)
Hướng dẫn giải chi tiết bài 1
Câu a:
Đặt \(u=1-x\) ta có \(du=-dx\)
Khi \(x=-\frac{1}{2}\) thì \(u=\frac{3}{2}\); khi \(x=\frac{1}{2}\) thì \(u=\frac{1}{2}\). Do đó:
\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\) \(=-\int_{\frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} \sqrt[3]{u^2} du = \int^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}} u^{\frac{3}{2}}du =\frac{3}{5}u^{\frac{5}{3}} \bigg|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}}\)
\(=\frac{3}{5} u\sqrt[3]{u^2} \bigg| ^{\frac{3}{2}}_{\frac{1}{2}}= \frac{3}{5} \left ( \frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{9}{4}}- \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \right )=\frac{3}{10\sqrt[3]{4}}(3\sqrt[3]{9}-1)\)
Câu b:
Đặt \(u=\frac{\pi }{4}-x\) ta có \(du=-dx\)
Khi x = 0 thì \(u=\frac{\pi }{4};\) khi \(x=\frac{\pi }{2}\) thì \(u=- \frac{\pi }{4}\). Do đó:
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\frac{\pi}{4}-x)dx =-\int_{\frac{\pi}{4}}^{-\frac{\pi}{4}}sinu. du\)
\(=-\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}sin u. du = -cos u \bigg|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=-\left ( cos \frac{\pi }{4} -cos \left ( -\frac{\pi }{4} \right ) \right )=0\)
Vậy \(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}} sin \left ( \frac{\pi }{4} -x \right )dx = 0.\)
Câu c:
Ta có:
\(\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\). Do đó:
\(\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{dx}{x(x+1)}=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \left ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right )dx= \int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x+1}\)
\(=\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{dx}{x}-\int_{\frac{1}{2}}^{2}\frac{d(x+1)}{x+1}= ln \left | x \right | \bigg|^2_{\frac{1}{2}}-ln \left | x+1 \right | \bigg|^2_{\frac{1}{2}}\)
\(=ln2 -ln\frac{1}{2}-ln3-ln\frac{3}{2}=ln2.\)
Câu d:
\(\int_{0}^{2}x(x+1)^2dx=\int_{0}^{2}(x^2+2x^2+x)dx\)
\(= \left ( \frac{x^4}{4}+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2 \right ) \Bigg| ^2_0= 4+\frac{16}{3}+2=\frac{34}{3}\)
Câu e:
Đặt u = x + 1 ta có du = dx và x = u - 1
Khi \(x=\frac{1}{2}\) thì \(u=\frac{3}{2}\); khi \(x=2\) thì \(u=3\). Do đó:
\(\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{1-3x}{(x+1)^2}dx=\int_{\frac{3}{2}}^{3} \frac{1-3(u-1)}{u^2}du=\int_{\frac{3}{2}}^{3}\frac{4-3u}{u^2}du\)
\(=4\int_{\frac{3}{2}}^{3}-3\int_{\frac{3}{2}}^{3}\frac{du}{u}= -\frac{4}{u} \Bigg |^3_{\frac{3}{2}}-3ln .u\Bigg |^3_{\frac{3}{2}}\)
\(=-\left ( \frac{4}{3} - \frac{4}{\frac{3}{2}}\right )-3 \left ( ln3-ln\frac{3}{2} \right )=\frac{4}{3}-3ln2\)
Câu g:
Ta có: \(sin3x . cos5x =\frac{1}{2}(sin8x-sin2x)\)
Do đó:
\(\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3x. cos5x dx =\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (sin8x - sin2x)dx\)
\(=\frac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin8x dx -\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin 2x dx\)
\(=-\frac{1}{16}cos 8x \Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{1}{4} cos2x\Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\frac{1}{16} \left [ cos4\pi -cos(-4\pi) \right ]+ \frac{1}{4}\left [ cos \pi - cos(-\pi) \right ]\)
\(=-\frac{1}{16}(1-1)+\frac{1}{4}(-1+1)=0\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 1 SGK
Bài tập SGK khác
Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.22 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.23 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.24 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.25 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.26 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.28 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.27 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.29 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.30 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 162 SGK Toán 12 NC
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f\left( -2 \right)=2;f\left( 0 \right)=1.\)
bởi Pham Thi 12/05/2023
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(f\left( -2 \right)=2;f\left( 0 \right)=1.\) Tính \(I=\int\limits_{-2}^{0}{\frac{{f}'\left( x \right)-f\left( x \right)}{{{e}^{x}}}dx}.\)
A. \(I=1-2{{e}^{2}}\).
B. \(I=1-2{{e}^{-2}}\).
C. \(I=1+2{{e}^{2}}\).
D. \(I=1+2{{e}^{-2}}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a\ln b} \,\,\,\) với \(a,\,b \in \mathbb{N}*\) và \(b\) là số nguyên tố. Thực hiện tính \(3a + 4b.\)
bởi Nguyễn Tiểu Ly 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3,\int\limits_0^2 {\left[ {f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} = 4\) và \(\int\limits_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = 8\). Hãy tính \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \).
bởi Hy Vũ 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f\left( {x + 1} \right)} dx = - 3\). Giá trị của \(\int\limits_0^1 {f\left( {x - 1} \right)} dx\) bằng
bởi Bảo khanh 16/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)} dx = 45,f\left( 0 \right) = 3.\) Tính giá trị của biểu thức \(f(2)\) bằng
bởi Nguyễn Vân 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên và đạo hàm \(f'\left( x \right)\)liên tục trên \(\mathbb{R}.\) Tính giá trị của biểu thức \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)} dx\) bằng
bởi Nguyễn Tiểu Ly 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,10} \right]\) và \(\int\limits_0^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x = 7} \) và \(\int\limits_2^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Hãy tính \(P = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x + \int\limits_6^{10} {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \).
bởi het roi 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} + 1\,\,\forall x,\,\,f\left( 0 \right) = 2\). Hàm \(f\left( x \right)\) là:
bởi cuc trang 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho biết \(\int\limits_0^m {\left( {3{x^2} - 2x + 1} \right)dx} = 6\). Giá trị của tham số \(m\) thuộc khoảng nào?
bởi Song Thu 16/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho số thực \(a\) thỏa mãn sau \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}dx = {e^2} - 1} \)
bởi Hoa Hong 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho hàm số sau \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)và \(\int\limits_0^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\), thì \(\int\limits_0^3 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} \) bằng:
bởi Thùy Nguyễn 15/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Theo dõi (0) 1 Trả lời
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên\(\mathbb{R}\) và\(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f(x)dx = 2018} \), hãy tính \(I = \int\limits_0^\pi {xf({x^2}} )dx\)
bởi Phung Meo 16/05/2022
Theo dõi (1) 1 Trả lời -
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thoả mãn \(\int\limits_1^8 {f\left( x \right)} dx = 9\), \(\int\limits_4^{12} {f\left( x \right)} dx = 3\), \(\int\limits_4^8 {f\left( x \right)} dx = 5\). Hãy tính \(I = \int\limits_1^{12} {f\left( x \right)} dx.\)
bởi Nguyễn Thị Thu Huệ 16/05/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tính: \(\int\limits_0^1 {\sin \sqrt x dx} \)
bởi Hữu Trí 26/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Đối với tích phân sau \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), thực hiện đổi biến số \(t = \tan x\) ta được:
bởi Tay Thu 25/04/2022
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Theo dõi (0) 1 Trả lời