Giải bài 4 tr 113 sách GK Toán GT lớp 12
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\) ;
b) \(\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx\)
c) \(\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx\); ;
d) \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)
Hướng dẫn giải chi tiết bài 4
Câu a:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x+1\\ dv=sin x.dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=dx\\ v=-cosx \end{matrix}\right.\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(x+1)sinx dx=-(x+1)cosx \Bigg|_{0}^{\frac{\pi }{2}}+ \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}cos x dx\)
\(=-\left [ \left (\frac{\pi }{2} +1 \right ).cos \frac{\pi }{2}-cos \ 0 \right ]+ sin x \Bigg|_0^{\frac{\pi }{2}}=2\)
Câu b:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=lnx\\ dv=x^2 dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{dx}{x}\\ \\ v=\frac{x^3}{3} \end{matrix}\right.\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_{1}^{e}x^2 ln x dx=\frac{x^3}{3}lnx \Bigg|^e_1-\frac{1}{3}\int_{1}^{e} x^2 dx=\frac{e^3}{3}-\frac{1}{9}x^3\Bigg|^e_1\)
\(=\frac{e^3}{3}-\frac{1}{9}(e^3-1)=\frac{2}{9}e^3+\frac{1}{9}\)
Câu c:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=ln(1+x)\\ dv=dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\frac{1}{1+x}dx\\ v=x \end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(\int_{0}^{1}ln(1+x)dx=xln(1+x)\Bigg|^1_0-\int_{0}^{1}\frac{x}{1+x}dx\)
\(=ln2-\int_{0}^{1}\frac{x+1-1}{1+x}dx=ln2-\int_{0}^{1}dx+\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+x}\)
\(=ln2-x \Bigg|^1_0+ln(1+x)\Bigg|^1_0=ln2-1+ln2=2ln2-1\)
Câu d:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} u=x^2-2x-1\\ dv=e^xdx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=(2x-2)dx\\ v=-e^{-x} \end{matrix}\right.\)
Áp dụng công thức tính tích phân từng phần ta có:
\(\int_{0}^{1}(x^2-2x-1)e^{-x}dx=-e^{-x}(x^2-2x-1) \Bigg|^1_0+\int_{0}^{1} (2x-2)e^{-x}dx\)
\(=\frac{2}{e}-1+2\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx\)
Tiếp tục đặt: \(\left\{\begin{matrix} u_1=x-1\\ dv_1=e^{-x}dx \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du_1=du\\ v_1=-e^{-x} \end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\int_{0}^{1}(x-1)e^{-x}dx = -e^{-x}(x-1) \Bigg|^1_0+\int_{0}^{1}e^{-x}dx\)
\(=-1-e^{-x}\Bigg|_{0}^{1}=-1-\frac{1}{e}+1=-\frac{1}{e}\)
Vậy \(\int_{0}^{1}(x^2-2x-1)e^{-x}dx=\frac{2}{e}-1-\frac{2}{e}=-1.\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Video hướng dẫn giải bài 4 SGK
Bài tập SGK khác
Bài tập 2 trang 112 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 6 trang 113 SGK Giải tích 12
Bài tập 3.16 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.19 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.22 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.23 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.24 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.25 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.26 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.28 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.27 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.29 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.30 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 162 SGK Toán 12 NC
-
Cho a > 0. Chứng minh rằng|: \(\int\limits_\alpha ^\beta {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta \over a},\tan k = {\alpha \over a}\)
bởi Nguyễn Thị Trang 24/05/2021
Cho a > 0. Chứng minh rằng: \(\int\limits_\alpha ^\beta {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta \over a},\tan k = {\alpha \over a}\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {1 + c{\rm{os}}x}}dx} \).
bởi Nhat nheo 25/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {1 + c{\rm{os}}x}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^2 {x\sqrt {{x^2} + 3} dx} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over {12}}} {{1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x\left( {1 + \tan 3x} \right)}}dx} \).
bởi Bo Bo 24/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over {12}}} {{1 \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}3x\left( {1 + \tan 3x} \right)}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{{\rm{cos}}x} \over {1 + \sin x}}dx} \).
bởi hi hi 24/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{{\rm{cos}}x} \over {1 + \sin x}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_{10}^{12} {{{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}dx} \).
bởi Bảo khanh 24/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_{10}^{12} {{{2x + 1} \over {{x^2} + x - 2}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^1 {{{2{x^2}} \over {{x^3} + 1}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^1 {{{2x} \over {{x^2} + 1}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_1^2 {{3 \over {1 - 2x}}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_4^5 {{{\left( {{x^2} + {1 \over x}} \right)}^2}dx} \).
bởi Nhật Nam 24/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_4^5 {{{\left( {{x^2} + {1 \over x}} \right)}^2}dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{16} {{{dx} \over {\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \).
bởi hi hi 25/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^{16} {{{dx} \over {\sqrt {x + 9} - \sqrt x }}} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^2 {\left| {1 - x} \right|dx} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^\pi {\left| {{\rm{cos}}x} \right|dx} \).
bởi Phan Quân 25/05/2021
Tính tích phân sau: \(\int\limits_0^\pi {\left| {{\rm{cos}}x} \right|dx} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + {{{t^2} + 4} \over {t + 3}}\left( {m/s} \right)\). Tính quãng đường vật đó đi được tròn 4 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
bởi Duy Quang 24/05/2021
Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + {{{t^2} + 4} \over {t + 3}}\left( {m/s} \right)\). Tính quãng đường vật đó đi được tròn 4 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right) = {1 \over {2\pi }} + {{\sin \left( {\pi t} \right)} \over \pi }\left( {m/s} \right)\) Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
bởi Phạm Phú Lộc Nữ 25/05/2021
Vận tốc của một vật chuyển động là \(v\left( t \right) = {1 \over {2\pi }} + {{\sin \left( {\pi t} \right)} \over \pi }\left( {m/s} \right)\) Tính quãng đường di chuyển của vật đó trong khoảng thời gian 1,5 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính \(\int\limits_{{1 \over e}}^e {\left| {\ln x} \right|dx} \)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Giả sử M và m theo thứ tự là gái trị lớn nhấ và nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng: \(m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge M\left( {b - a} \right)} \)
bởi Mai Thuy 24/05/2021
Giả sử M và m theo thứ tự là gái trị lớn nhấ và nhỏ nhất của hàm số f trên đoạn [a;b]. Chứng minh rằng: \(m\left( {b - a} \right) \le \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx \ge M\left( {b - a} \right)} \).
Theo dõi (0) 1 Trả lời