Giải bài 3.19 tr 171 SBT Toán 12
Tính các tích phân sau đây:
a) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {x + 1} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)dx\)
b) \(\int \limits_0^1 \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}\left( {x + 1} \right)dx\)
c) \(\int \limits_{\frac{1}{2}}^1 \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}dx\)
d) \(\int \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \frac{{\sin 2xdx}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}\)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x + 1\\
dv = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)
\end{array} \right.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)} \cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)dx = \left( {x + 1} \right)\sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)dx} \\
= - 1 + \left. {\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = - 2
\end{array}\)
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}
{\log _2}\left( {x + 1} \right) = \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{\ln 2}}\\
\Rightarrow \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{\log _2}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}\left[ {x\ln \left( {x + 1} \right) + \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}} \right]\\
\Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)dx = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {{I_1} + {I_2}} \right)}
\end{array}\)
+) \({I_1} = \int \limits_0^1 x\ln \left( {x + 1} \right)dx\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln (x + 1)\\
dv = xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{{x + 1}}\\
v = \frac{1}{2}{x^2}
\end{array} \right.\)
Ta có:
{I_1} = \frac{1}{2}{x^2}\left. {\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_0^1 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx} \\
= \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {x - 1 + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\
= \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\left. {\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} - x + \ln \left( {x + 1} \right)} \right]} \right|_0^1\\
= \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} - 1 + \ln 2} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\)
+ Tính
{I_2} = \int\limits_0^1 {\frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}dx = \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)d\left[ {\ln \left( {x + 1} \right)} \right]} } \\
= \frac{1}{2}\left. {{{\ln }^2}\left( {x + 1} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{2}{\ln ^2}2
\end{array}\)
Ta có: \(I = \frac{1}{{\ln 2}}\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2}{{\ln }^2}2} \right) = \frac{1}{{4\ln 2}} + \frac{1}{2}\ln 2\)
c) Ta có: \(\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}} = \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}} = \frac{{1 - \frac{1}{{{x^2}}}}}{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 2}}\)
Đặt \(t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\), ta có:
\(\int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{x^2} - 1}}{{{x^4} + 1}}dx = \int\limits_{\frac{5}{2}}^2 {\frac{{dt}}{{{t^2} - 2}} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \left. {\left| {\frac{{t - \sqrt 2 }}{{t + \sqrt 2 }}} \right|} \right|_{\frac{5}{2}}^2 = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\ln \frac{{6 - \sqrt 2 }}{{6 + \sqrt 2 }}} } \)
d)
\(\begin{array}{l}
\frac{{\sin 2x}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}} = \frac{{2\sin x\cos x}}{{3 + 4\sin x - (1 - 2{{\sin }^2}x)}}\\
= \frac{{\sin x\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 2\sin x + 1}} = \frac{{\sin x\cos x}}{{{{(\sin x + 1)}^2}}}\\
\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 2x}}{{3 + 4\sin x - \cos 2x}}dx = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin x\left( {\sin x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sin x + 1} \right)}^2}}}dx} } \\
= \left. {\left( {\ln \left| {\sin x + 1} \right| + \frac{1}{{\sin x + 1}}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \ln 2 - \frac{1}{2}
\end{array}\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
Bài tập 3.17 trang 170 SBT Toán 12
Bài tập 3.18 trang 171 SBT Toán 12
Bài tập 3.20 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.21 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.22 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.23 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.24 trang 172 SBT Toán 12
Bài tập 3.25 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.26 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.28 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.27 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.29 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 3.30 trang 173 SBT Toán 12
Bài tập 10 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 11 trang 152 SGK Toán 12 NC
Bài tập 12 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 13 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 14 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 15 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 16 trang 153 SGK Toán 12 NC
Bài tập 17 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 18 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 19 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 20 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 21 trang 161 SGK Toán 12 NC
Bài tập 22 trang 162 SGK Toán 12 NC
Bài tập 23 trang 162 SGK Toán 12 NC
-
Hãy sử dụng phương pháp tích phân từng phần, Tính tích phân sau: \(\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(x+1)\sin xdx\).
bởi Hồng Hạnh 05/05/2021
Hãy sử dụng phương pháp tích phân từng phần, Tính tích phân sau: \(\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(x+1)\sin xdx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\), (Đặt \(x= asint\)).
bởi May May 06/05/2021
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\), (Đặt \(x= asint\)).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\), (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\)).
bởi Huong Giang 06/05/2021
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x.e^{x}}dx\), (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\)).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\), (Đặt \(x = sint\) ).
bởi bach dang 05/05/2021
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\), (Đặt \(x = sint\) ).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\), (Đặt \(u= x+1\)).
bởi Thanh Thanh 05/05/2021
Hãy sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân sau: \(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\), (Đặt \(u= x+1\)).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân cho sau: \(\int_0^\pi \sin 2x\cos ^2xdx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân cho sau: \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)
bởi Lê Viết Khánh 06/05/2021
Tính tích phân cho sau: \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân cho sau: \(\int_0^{{\pi \over 2}} \sin ^2xdx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân cho sau: \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\).
bởi Hữu Trí 05/05/2021
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)
bởi hi hi 06/05/2021
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\dfrac{\pi}{4}-x)dx\).
bởi Cam Ngan 05/05/2021
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\dfrac{\pi}{4}-x)dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\).
bởi Phạm Khánh Ngọc 05/05/2021
Hãy tinh tích phân cho sau: \(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Thực hiện phép tính: \(\smallint {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){e^x}dx\) bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
bởi Khánh An 05/05/2021
Thực hiện phép tính: \(\smallint {\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){e^x}dx\) bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tính tích phân [(1n2x / x căn 1+1nx)+1nx]dx
bởi Huyền Trang 05/05/2021
Tính tích phân [(1n2x / x căn 1+1nx)+1nx]dx
Theo dõi (0) 0 Trả lời