Giải bài tập SGK Chương 4 Toán 12 Cơ bản & Nâng cao

Thế nào là phần thực phần ảo, mô đun của một số phức? Viết công thức tính mô đun của số phức theo phần thực phần ảo của nó?

Tìm mối liên hệ giữa khái niêm môđun và khái niệm giá trị tuyệt đối của số thực.

Nêu định nghĩa số phức liên hợp với số phức z. Số phức nào bằng số phức liên hợp của nó?

Số phức thỏa mãn điều kiện nào thì có điểm biểu diễn ở phần gạch chéo trong các hình a, b , c?

Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp biểu diễn của các số phức z thỏa mãn điều kiện:

a) Phần thực của z bằng 1.

b) Phần ảo của z bằng -2.

c) Phần thực của z thuộc đoạn [-1; 2], phần ảo của z thuộc đoạn [0; 1].

d) \(|z|\leq 2\).

 Tìm các số thực x, y sao cho:

\(a) \ 3x+yi=2y+1+(2-x)i\).

\(b) \ 2x+y-1=(x+2y-5)i\).

Chứng tỏ rằng với mọi số thực z, ta luôn phần thực và phần ảo của nó không vượt quá mô đun của nó.

Thực hiện các phép tính sau:

a) \((3+2i)\left [ (2-i)+(3-2i) \right ]\)
b) \((4-3i)+\frac{1+i}{2+i}\).
c) \((1+i)^2-(1-i)^2\).
d) \(\frac{3+i}{2+i}-\frac{4-3i}{2-i}\).

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) (3+4i)z + (1-3i) = 2+5i.  

b) (4+7i)z - (5-2i) = 6iz.

Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) \(3z^2+7z+8=0.\)

b) \(z^4-8=0.\)

c) \(z^4-1=0.\)

Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3 và tích của chúng bằng 4.

Cho hai số phức z₁,z₂, biết rằng z₁+z₂ và z₁.z₂ là hai số thực. Chứng tỏ rằng z₁,z₂ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

Số nào trong các số sau là số thực?

\((A)(\sqrt{3}+2i)-(\sqrt{3-2i})\)
\((B) (2+i\sqrt{5})+(2-i\sqrt{5})\)
\((C) (1+i\sqrt{3})^2\)
\((D)\frac{\sqrt{2}+i}{\sqrt{2}-i}\)

Số nào trong các sô sau là số ảo?
\(\\ (A).(\sqrt{2}+3i)(\sqrt{2-3i}) \\ \ \ \ \ (B). (\sqrt{2}-3i)(\sqrt{2+3i}) \\ (C). (2+2i)^2 \\ (D). \frac{3+2i}{2-3i}\)

Đẳng thức nào sau đây là đẳng thức đúng?

(A). i¹⁹⁷⁷=-1

(B). i²³⁴⁵=i

(C). i²⁰⁰⁵=1

(D). i²⁰⁰⁶=-i

Đẳng thức nào trong các đẳng thức sau là đúng?

(A). (1-i)⁸=-16

(B). (1+i)⁸=16i

(C). (1+i)⁸=16

(D). (1+i)⁸=-16i

Biết nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào là đúng?

(A). \(z\in \mathbb{R}\)

(B). \(|z|=1\)

(C). z là số thuần ảo

(D). \(|z|=-1\)

 Trong các kết luận sau, kết luận nào là sai?

A. Mô đun của số phức z là một số thực.

B. Mô đun của số phức z là một số phức.

C. Mô đun của số phức z là một số thực dương.

D. Mô đun của số phức z là một số thực không âm.

Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính 
a) \({{{\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)}^2}}\)

b) \({{{\left( {1 + 2i} \right)}^3}}\)

c) \({{{\left( {3 - i\sqrt 2 } \right)}^2}}\)

d) \({{{\left( {2 - i} \right)}^3}}\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({\left( {1 + 2i} \right)x - \left( {4 - 5i} \right) =  - 7 + 3i}\)

b) \({\left( {3 + 2i} \right)x - 6ix = \left( {1 - 2i} \right)\left[ {x - \left( {1 + 5i} \right)} \right]}\)

Giải các phương trình sau trên tập số phức :
a) \({3{x^2} + \left( {3 + 2i\sqrt 2 } \right)x - \frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^3}}}{{1 - i}} = i\sqrt 8 x}\)

b) \({{{\left( {1 - ix} \right)}^2} + \left( {3 + 2i} \right)x - 5 = 0}\)

Tìm số phức z, biết:
a) \({\bar z = {z^3}}\)

b) \({\left| z \right| + z = 3 + 4i}\)

Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left| {z - 2i} \right| = \left| z \right|\\
\left| {z - i} \right| = \left| {z - 1} \right|
\end{array} \right.\)

Chứng tỏ rằng \(\frac{{z - 1}}{{z + 1}}\) là số thực khi và chỉ khi z$z$ là một số thực khác −1

Cho z là một số phức tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. \(z \in R \Leftrightarrow z = \bar z\)

B. z thuần ảo \( \Leftrightarrow z + \bar z = 0\)

C. \(\frac{z}{{\bar z}} - \frac{{\bar z}}{z} \in R\left( {z \ne 0} \right)\)

D. \({z^3} + {\left( {\bar z} \right)^3} \in R\)

Số nào sau đây là số thực?

A. \(\frac{{2 + i\sqrt 2 }}{{1 - i\sqrt 2 }} + \frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 - i\sqrt 2 }}\)

B. \(\left( {2 + 3i} \right)\left( {3 - i} \right) + \left( {2 - 3i} \right)\left( {3 + i} \right)\)

C. \(\frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 + i} \right)}}{{2 - i}} + \frac{{\left( {1 + i} \right)\left( {2 - i} \right)}}{{2 + i}}\)

D. \({\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)^2}\)

Số nào sau đây là số thuần ảo ?
A. \({\frac{{{{\left( {1 + i} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 - i} \right)}^3}}}}\)

B. \({{{\left( {1 + i} \right)}^5} - {{\left( {1 - i} \right)}^5}}\)

C. \({\frac{{1 + i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{1 + i}}}\)

D. \({\frac{{3 + 2i}}{{2 - i}} + \frac{{3 - 2i}}{{2 + i}}}\)

Cho \({z_1},{z_2} \in C\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. \({z_1} + {z_2} \in R\)             

B. \({z_1}.{z_2} \in R\)

C. \({z_1} - {z_2} \in R\)             

D. \(z_1^2 + z_2^2 \in R\)

Cho \(k,n \in N\), biết \({\left( {1 + i} \right)^n} \in R\). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. n = 4k+1                 B. n = 4k+2

C. n = 4k+3                 D. n = 4k

Tìm phần thực, phần ảo của

\(\begin{array}{l}
a){\left( {2 - 3i} \right)^3} \\
b)\frac{{3 + 2i}}{{1 - i}} + \frac{{1 - i}}{{3 - 2i}} \\
c)(x + iy)^2 - 2(x + iy) + 5(x,y \in R)
\end{array}\)

Với x, y nào thì số phức đó là số thực?

Chứng minh rằng |z| = |w| = 1 thì số \(\frac{{z + w}}{{1 + zw}}\) là số thực (giả sử 1 + zw ≠ 0)

Giải các phương trình sau trên C:

a.

\(\eqalign{{\left( {z + 3 - i} \right)^2} - 6\left( {z + 3 - i} \right) + 13 = 0}\)

b.

\(\eqalign{\left( {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right)^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0;} \)

c.

\({\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)

Xét các số phức: \({z_1} = \sqrt 6  - i\sqrt 2 ;\) \({z_2} =  - 2 - 2i;\) \({z_3} = {{{z_1}} \over {{z_2}}}\)

a. Viết \({z_1};\,{z_2};\,{z_3}\) dưới dạng lượng giác;

b. Từ câu a) hãy tính \(\cos {{7\pi } \over {12}}\) và \(\sin {{7\pi } \over {12}}\).

Cho \(z = (\sqrt 6  + \sqrt 2 ) + i(\sqrt 6  - \sqrt 2 )\)

a) Viết z² dưới dạng đại số và dưới dạng lượng giác

b) Từ câu a, hãy suy ra dạng lượng giác của z

a.

Bằng cách biểu diễn hình học các số phức 2 + i và 3 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 3}\)với \(a,b \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b = {\pi  \over 4}\).

b.

Bằng cách biển diễn hình học các số phức 2 + i, 5+ i và 8 + i, hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a = {1 \over 2},\,\tan b = {1 \over 5},\,\tan c = {1 \over 8}\) với \(a,b,c \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) thì \(a + b + c = {\pi  \over 4}\).

Phần thực của \(z = 2i\) là

(A) 2;                           (B) 2i;

(C) 0;                           (D) 1.

Phần ảo \(z =  - 2i\) của là:

(A) - 2

(B) - 2i

(C) 0

(D) - 1

Số \(z + \bar z\) là

(A) Số thực

(B) Số ảo

(C) 0

(D) 2

Số \(z - \bar z\) là

(A) Số thực

(B) Số ảo

(C) 0

(D) 2i

Số \(\frac{1}{{1 + i}}\) bằng

(A) \(1+i\) 

(B) \(\frac{1}{2}\left( {1 - i} \right)\)

(C) \(1–i\)

(D) \(i\)

Tập hợp các nghiệm của phương trình \(z = \frac{z}{{z + i}}\) là:

(A) {0;1−i}$$

(B) {0}

(C) {1−i}$$

(D) {0;1}

Mođun của \(1-2i\) bằng

(A) 3

(B) \(\sqrt 5 \)                         

(C) 2

(D) 1

Mođun của \( - 2iz\) bằng

(A) \( - 2\left| z \right|\)

(B) \(\sqrt 2 z\)

(C) \(2\left| z \right|\)

(D) 2

Acgumen của \( - 1 + i\)$$ bằng

(A) \(\frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

(B) \( - \frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                

(C) \(\frac{\pi }{4} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                                      

(D) \(\frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Nếu acgumen của z bằng \( - \frac{\pi }{2} + k2\pi \) thì

(A) Phần ảo của z là số dương và phần thực của z bằng 0;

(B) Phần ảo của z là số âm và phần thực của z bằng 0;

(C) Phần thực của z là số âm và phần ảo của z bằng 0;

(D) Phần thực và phần ảo của z đều là số âm.

Nếu \(z = \cos \varphi  - i\sin \varphi \) thì acgumen của z bằng:

(A) \(\varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

(B) \( - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)  

(C) \(\varphi  + \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                                   

(D) \(\varphi  + \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Nếu \(z =  - \sin \varphi  - i\cos \varphi \) thì acgumen của z bằng:

(A) \( - \frac{\pi }{2} + \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                              

(B) \( - \frac{\pi }{2} - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                 

(C) \(\frac{\pi }{2} + \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)                                       

(D) \(\pi  - \varphi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)