Bài tập 39 trang 209 SGK Toán 12 NC

a) Đặt w = z + 3 − i ta được phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
{w^2} - 6w + 13 = 0\\
 \Leftrightarrow {(w - 3)^2} =  - 4 = 4{i^2}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{w = 3 + 2i}\\
{w = 3 - 2i}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z + 3 - i = 3 + 2i}\\
{z + 3 - i = 3 - 2i}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z = 3i}\\
{z =  - i}
\end{array}} \right.
\end{array}
\end{array}\)

Vậy S = {−i; 3i}

b) Đặt \(w = \frac{{iz + 3}}{{z - 2i}}\) ta được phương trình:

\({w^2} - 3w - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
w =  - 1\\
w = 4
\end{array} \right.\)

+ Với w = -1 ta có: 

\(\frac{{iz + 3}}{{z - 2i}} =  - 1 \Leftrightarrow iz + 3 =  - z + 2i\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow (i + 1)z =  - 3 + 2i\\
 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 3 + 2i}}{{1 + i}}\\
 = \frac{{( - 3 + 2i)(1 - i)}}{2} = \frac{{ - 1 + 5i}}{2}
\end{array}\)

+ Với w = 4 ta có :

\(\frac{{iz + 3}}{{z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow (4 - i)z = 3 + 8i\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow z = \frac{{3 + 8i}}{{4 - i}} = \frac{{(3 + 8i)(4 + i)}}{{17}}\\
 = \frac{{4 + 35i}}{{17}}
\end{array}\)

Vậy \(S = \left\{ {\frac{{ - 1 + 5i}}{2};\frac{{4 + 35}}{{17}}} \right\}\)

c)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\begin{array}{*{20}{l}}
{{{({z^2} + 1)}^2} + {{(z + 3)}^2} = {{({z^2} + 1)}^2} - {{[i(z + 3)]}^2}}\\
\end{array}\\
 = ({z^2} + 1 + i(z + 3))({z^2} + 1 - i(z + 3)) = 0
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{z^2} + 1 + i(z + 3) = 0(1)}\\
{{z^2} + 1 - i(z + 3) = 0(2)}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Phương trình (1) là phương trình bậc hai z² + iz + 1 + 3i = 0

Δ = −5 − 12i = (2 − 3i)²

Phương trình có hai nghiệm là z₁ = 1 − 2i và z₂ = −1 + iz

Phương trình (2) là phương trình bậc hai z² − iz + 1 − 3i = 0

Δ = − 5+ 12i = (2 + 3i)²

Phương trình có hai nghiệm là z3 = 1 + 2i và z4 = −1 − i

Vậy S={1 − 2i; −1 + i; 1 + 2i; −1−i}

-- Mod Toán 12 HỌC247