RANDOM
RANDOM
Video-Banner

Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Giải bài 11 tr 46 sách GK Toán GT lớp 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số \(y=\frac{x+3}{x+1}\)

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N.

c) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) luôn cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết bài 11

Câu a:

\(y=\frac{x+3}{x+1}\)

1) Tập xác định: R\{-1}.

2) Sự biến thiên: 

\(y'=\frac{x+1-x-3}{(x+1)^2}=\frac{-2}{(x+1)^2}<0 \ \ \forall x\neq -1\)

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

Tiệm cận:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 3}}{{x + 1}} = 1\) nên đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} =  - \infty ,\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{x + 3}}{{x + 1}} =  + \infty \) 

Nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số,

Bảng biến thiên:

BBT bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận điểm (-1;1) làm tâm đối xứng.

Đồ thị cắt Ox tại điểm (-3;0) cắt Oy tại điểm (0;3).

Đồ thị bài 11 trang 46 SGK Giải tích 12

Câu b: 

Số giao điểm của đường thẳng y = 2x + m và (C) là số nghiệm của phương trình sau:

\(\frac{x+3}{x+1}=2x+m (*)\)  (Điều kiện: \(x\neq -1\))

Ta có: \((*)\Rightarrow x+3=(2x+m)(x+1)\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+2)x+m=x+3\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+(m+1)x+m-3=0 (**)\)

\(\Delta =(m+1)^2-8(m-3)\)

\(=m^2-6m+25>0 \ \ \forall m\).

Mặt khác không tồn tại m để x = -1 là nghiệm của (**), vì thế (*) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Vậy với mọi giá trị của m thì (C) luôn cắt đường thẳng y = 2x + m tại hai điểm phân biệt M, N.

Câu c:

Hoành độ M, N là nghiệm của (**)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{ - m - 1 + \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}\\
{x_N} = \frac{{ - m - 1 - \sqrt {{m^2} - 6m + 25} }}{4}
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow x_N-x_M=-\frac{\sqrt{m^2-6m+25}}{2}\)

và \(y_N-y_M=2x_N+m(2x_M+m)\)

\(=2(x_N-x_M)=-\sqrt{m^2-6m+25}\)

Do đó: 

\(MN=\sqrt{(x_N-x_M)+(y_N-y_M)^2}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2-6m+25)+(m^2-6m+25)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m^2-6m+25)}\)

\(=\sqrt{\frac{5}{4}(m-3)^2+16} \geq \sqrt{\frac{5}{4}.16}\)

\(\Leftrightarrow MN \geq \sqrt{20}\)

Dấu "bằng" xảy ra khi m = 3.

Vậy độ dài của MN nhỏ nhất là \(\sqrt{20}\) đạt được khi m = 3.

Câu d:

Vì \(S\in (C)\) nên \(S\left ( x_0;\frac{x_0+3}{x_0+1} \right )\), do đó tiếp tuyến tai S của (C) có phương trình:

\(y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\)

Tiệm cận đứng là x = - 1 ⇒ toạ độ của P là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ x=-1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-1\\ \\ y=\frac{x_0+5}{x_0+1} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow P \left ( -1; \frac{x_0+5}{x_0+1} \right )\)

Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 ⇒ Toạ độ của Q là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{\begin{matrix} y=-\frac{2}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}\\ \\ y=1 \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=2x_0+1\\ \\ y= 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow Q(2x_0+1; 1)\)

Ta có toạ độ trung điểm của PQ là:

\(\left\{\begin{matrix} x=\frac{x_P+x_Q}{2}\\ \\ y=\frac{y_P+y_Q}{2} \end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\frac{-1+2x_0+1}{2}\\ \\ y=\frac{x_0+1}{2} \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=x_0 \ \ \ \ \\ \\ y=\frac{x_0+3}{x_0+1} \end{matrix}\right.\)

Vậy S là trung điểm của PQ.

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 46 SGK Giải tích 12 HAY thì click chia sẻ 

Bài tập SGK khác

Bài tập 9 trang 46 SGK Giải tích 12

Bài tập 10 trang 46 SGK Giải tích 12

Bài tập 12 trang 47 SGK Giải tích 12

Bài tập 1 trang 47 SGK Giải tích 12

Bài tập 2 trang 47 SGK Giải tích 12

Bài tập 3 trang 47 SGK Giải tích 12

Bài tập 4 trang 47 SGK Giải tích 12

Bài tập 5 trang 47 SGK Giải tích 12

Bài tập 1.75 trang 39 SBT Toán 12

Bài tập 1.76 trang 40 SBT Toán 12

Bài tập 1.77 trang 40 SBT Toán 12

Bài tập 1.78 trang 40 SBT Toán 12

Bài tập 1.79 trang 40 SBT Toán 12

Bài tập 1.80 trang 40 SBT Toán 12

Bài tập 1.81 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.82 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.83 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.84 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.85 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.86 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.87 trang 41 SBT Toán 12

Bài tập 1.88 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.89 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.90 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.91 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.92 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.93 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.94 trang 42 SBT Toán 12

Bài tập 1.95 trang 43 SBT Toán 12

Bài tập 1.96 trang 43 SBT Toán 12

Bài tập 68 trang 61 SGK Toán 12 NC

Bài tập 69 trang 61 SGK Toán 12 NC

Bài tập 70 trang 61 SGK Toán 12 NC

Bài tập 71 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 72 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 73 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 74 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 75 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 76 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 77 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 78 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 80 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 81 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 82 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 83 trang 64 SGK Toán 12 NC

Bài tập 84 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 85 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 86 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 87 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 88 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 89 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 90 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 91 trang 65 SGK Toán 12 NC

Bài tập 92 trang 66 SGK Toán 12 NC

Bài tập 93 trang 66 SGK Toán 12 NC

Bài tập 94 trang 66 SGK Toán 12 NC

Bài tập 95 trang 66 SGK Toán 12 NC

Bài tập 96 trang 66 SGK Toán 12 NC

Bài tập 97 trang 67 SGK Toán 12 NC

Bài tập 98 trang 67 SGK Toán 12 NC

Bài tập 99 trang 67 SGK Toán 12 NC

Bài tập 100 trang 67 SGK Toán 12 NC

YOMEDIA