ADMICRO
RANDOM
Banner-Video

Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC

Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC

Cho hàm số: \(y = f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên tại hai điểm A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB và tam giác OAB có diện tích không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường cong (C).

QUẢNG CÁO

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Tập xác định: D = R∖{0}

\(\begin{array}{l}
y\prime  = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\\
y\prime  = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng: \(( - \infty ; - 1);(1; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng: (−1; 0); (0; 1)

+) Cực trị:

 Hàm số đạt cực đại tại: x = −1; y(−1) = −2

Hàm số đạt cực tiểu tại: x = 1; y(1) = 2

+) Giới hạn:

\(\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ - }}  =  - \infty ;\mathop {\lim y}\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty \)

Tiệm cận đứng: x = 0

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim}\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \\
\mathop {\lim}\limits_{x \to \infty } (y - x) = \mathop {\lim}\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x} = 0
\end{array}\)

Tiệm cận xiên: y = x

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Tiệm cận đứng x = 0; Tiệm cận xiên y = x.
Ta có \(f(x) = 1 - \frac{1}{{{x^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C) tại điểm \(M\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)\) là:

\(y = \left( {1 - \frac{1}{{x_0^2}}} \right)(x - {x_0}) + {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}\)

Thay x = 0 vào phương trình trên, ta được tung độ của điểm A:

\({y_A} = \left( {1 - \frac{1}{{x_0^2}}} \right)\left( { - {x_0}} \right) + {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{2}{{{x_0}}}\) 

Vậy \(A\left( {0;\frac{2}{{{x_0}}}} \right)\)

Hoành độ của điểm B là nghiệm của phương trình

\(\begin{array}{l}
\left( {1 - \frac{1}{{x_0^2}}} \right)(x - {x_0}) + {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} = x\\
 \Leftrightarrow  - \frac{x}{{{x_0}}} + \frac{2}{{{x_0}}} = 0 \Leftrightarrow x = 2{x_0}
\end{array}\)

xB = 2x0. Vậy B(2x0; 2x0)

Ta có: \({x_M} = {x_0} = \frac{{0 + 2{x_0}}}{2} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\)

Vì ba điểm A, M, B thẳng hàng nên từ đó suy ra rằng M là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Diện tích tam giác OAB là:

\(\begin{array}{l}
S = \frac{1}{2}\left| {{y_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right|\\
 = \frac{1}{2}\left| {\frac{2}{{{x_0}}}} \right|.\left| {2{x_0}} \right| = 2,\forall {x_0} \ne 0
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 79 trang 62 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 
 
 
  • A La

    Cho hàm số \(y=\frac{x+2}{x-1}\) có đồ thị kí hiệu là (C). 
    a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
    b) Tìm m để đường thẳng \(y=-x+m\) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = \(2\sqrt{2}\).

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • hà trang

    Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^3-y^3+8x-8y=3x^2-3y^2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ (5x^2-5y+10)\sqrt{y+7}+(2y+6)\sqrt{x+2}=x^3+13y^2-6x+32 \end{matrix}\right.\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • Phan Quân

    Cho hàm số \(y=\frac{2x+2}{2x+1} \ \ (C)\)
    a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
    b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. 
    c) Tìm m để đường thẳng \(d:y=2mx+m+1\) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho biểu thức P = OA2 + OB2 đạt giá trị nhỏ nhất (với O là gốc tọa độ).

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
  • hà trang

    Giải phương trình: \(x\sqrt{x-1}=(2x-3)^2(2x-2)+x-2\)

    Theo dõi (0) 1 Trả lời
YOMEDIA