Giải bài tập Toán 12 Chương 1 Bài 3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\) trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0;5]\).

b) \(y = x^4 - 3x^2 + 2\) trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\).

c) \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\) trên các đoạn \([2;4]\) và \([-3;-2]\).

d) \(y =\sqrt{(5-4x)}\) trên đoạn \([-1;1]\).

Trong số các hình chữ nhật cùng có chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích 48 m² , hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.

Tính giá trị lớn nhất của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{4}{1+x^2}\).

b) \(y=4x^3-3x^4\).

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \left | x \right |\);

b) \(y = x+\frac{4}{x} ( x > 0)\) 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{9}{x}\) trên đoạn [2;4].

Tìm các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} - 3{x^2} - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Cho số dương m. Hãy phân tích m thành tổng của hai số dương sao cho tích của chúng là lớn nhất.

Một chất điểm chuyển động theo quy luật s = 6t²−t³. Tính thời điểm t (giây) tại đó vận tốc v(m/s) của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Hãy tìm tam giác vuông có diện tích lớn nhất nếu tổng của một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng hằng số a (a > 0).

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y =  - {x^2} + 4x - 5\) trên đoạn [0;3] bằng:

A. - 1

B. 1

C. 2

D. 0

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} - 9x - 7\) trên đoạn [-4;3] bằng: 

A. - 5

B. 0

C. 7

D. - 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{2x - 1}}{{x - 3}}\) trên đoạn [0;2] bằng:

A. \(\frac{1}{3}\) và 3

B. \(\frac{3}{2}\) và -1

C. 2 và -3

D. \(\frac{1}{2}\) và 5

Tìm hai số có hiệu là 13 sao cho tích của chúng là bé nhất.

A. 13 và 0

B. \(\frac{{13}}{2}\) và  \( - \frac{{13}}{2}\)

C. 15 và 2

D. 30 và 15

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) là:

A. 1

B. \(\frac{4}{3}\)

C.  \(\frac{5}{3}\)

D. 0 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x + \cos x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) là:

A. 1

B. \(2\sqrt 2 \)

C.  \( - \sqrt 2 \)

D. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^2} + 2x - 5\) trên đoạn [-2; 3]

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + 2{x^2} + 3x - 4\) trên đoạn [-4; 0]

c) \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{x}\) trên đoạn \(\left( {0; + \infty } \right)\)

d) \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 2x + 4\) trên đoạn [2; 4]

e) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 5x + 4}}{{x + 2}}\) trên đoạn [0; 1]

f) \(f\left( x \right) = x - \frac{1}{x}\) trên đoạn (0; 2]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2sin²x + 2sinx - 1

b) y = cos²2x - sinx.cosx + 4

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: P(n) = 480 - 20n²

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\)

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}}\)

c) \(f\left( x \right) = \sqrt {5 - {x^2}} \)

d) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {{x^2} - 1} \)

Tìm giá trị của m để hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}\) có cực đại và cực tiểu.

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: \(G\left( x \right) = 0,025{x^2}\left( {30 - x} \right)\), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân ( x được tính bằng miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.

Cho parabol (P): y = x² và điểm A(-3; 0). Xác định điểm M thuộc parabol (P) sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của con cá trong t giờ được cho bởi công thức E(v) = cv³t, trong đó cc là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là \(f\left( t \right) = 45{t^2} - {t^3},t = 0,1,2,...,25\)

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn [0; 25] thì f′(t) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t.

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó

c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600

d) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn [0; 25]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \sqrt {3 - 2x} \) trên đoạn [-3; -1]

b) \(f\left( x \right) = x + \sqrt {4 - {x^2}} \)

c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^2}x + 2\)

d) f(x) = x - sin2x trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\pi } \right]\)

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.