RANDOM
AMBIENT
Video-Banner
ADSENSE

Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC

Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

ANYMIND

Hướng dẫn giải chi tiết

Đặt BM = x \(\left( {0 < x < \frac{a}{2}} \right)\)

Gọi H là trung điểm BC ta có \(AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta BMQ = \Delta CNP \Rightarrow BM = NC = x \Rightarrow MN = a - 2x\)

QM // AH nên \(\frac{{QM}}{{AH}} = \frac{{BM}}{{BH}}\)

\( \Rightarrow QM = \frac{{AH.BM}}{{BH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.x}}{{\frac{a}{2}}} = x\sqrt 3 \)

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là:

\(\begin{array}{l}
S(x) = MN.QM\\
 = (a - 2x).x\sqrt 3  = \sqrt 3 (ax - 2{x^2})
\end{array}\)

Ta tìm giá trị lớn nhất của S(x) trên khoảng \(\left( {0;\frac{a}{2}} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
S\prime (x) = \sqrt 3 (a - 4x);\\
S\prime (x) = 0\\
 \Leftrightarrow x = \frac{a}{4};S\left( {\frac{a}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^2}
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Vậy S(x) đạt GTLN tại điểm x = a/4 và GTLN của diện tích hình chữ nhật là: 

\(\mathop {\max S(x)}\limits_{x \in \left( {0;\frac{a}{2}} \right)}  = S\left( {\frac{a}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{8}{a^2}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 19 trang 22 SGK Toán 12 NC HAY thì click chia sẻ 

 

YOMEDIA