Bài tập 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm số \(f(x)\) liên tục trên một đoạn \([a;b].\)

• Tìm các điểm \(x_i\in (a ; b)\) (i = 1, 2, . . . , n) mà tại đó \(f'(x_i)=0\) hoặc \(f'(x_i)\) không xác định.
• Tính \(f(x),f(b),f(x_i)\) (i = 1, 2, . . . , n).
• Khi đó :  

​\(\begin{array}{l}
\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\};\\
\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right);f\left( {{x_i}} \right)} \right\}
\end{array}\)

​Áp dụng ta giải câu a, b, c, d bài 1 như sau:

Câu a:

Xét hàm số \(y = x^3 - 3x^2 - 9x + 35\)

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\).

Hàm số liên tục trên các đoạn [-4;4] và [0;5] nên có GTLN và GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có: y’ = 3x² – 6x – 9 = 3(x² – 2x – 3)

Trên đoạn [-4;4]:

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3 \in \left[ { - 4;4} \right]\\ x = - 1 \in \left[ { - 4;4} \right] \end{array} \right.\)

Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8.

Vậy: 

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = y( - 1) = 40\).

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 4;4} \right]} = y( - 4) = - 41.\)

Trên đoạn [0;5]:

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 3 \in \left[ {0;5} \right]}\\ {x = - 1 \notin \left[ {0;5} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có:  y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số là \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(5) = 40.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;5} \right]} = y(3) = 8.\)

Câu b:

Xét hàm số \(y = x^4 - 3x^2 + 2\)

Tập xác định D=R

Hàm số liên tục trên các đoạn \([0;3]\) và \([2;5]\) nên có GTLN và GTNN trên các đoạn này:

Đạo hàm: y'=4x³-6x.

Trên đoạn [0;3]:

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]}\\ {x = 0 \in \left[ {0;3} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \in \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có: y(0)=2; \(y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = - \frac{1}{4}\); y(3)=56.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số:\(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( 3 \right) = 56.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {0;3} \right]} = y\left( {\sqrt {\frac{3}{2}} } \right) = - \frac{1}{4}.\)

Trên đoạn [2;5]:

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = - \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = 0 \notin \left[ {2;5} \right]}\\ {x = \sqrt {\frac{3}{2}} \notin \left[ {0;3} \right]} \end{array}} \right.\)

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 6 \right) = 552.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;5} \right]} = y\left( 2 \right) = 6.\)

Câu c:

Xét hàm số \(y =\frac{ (2-x)}{(1-x)}\)

Hàm số có tập xác định D = R \{1} và liên tục trên các đoạn [2;4] và [-3;-2] thuộc D, do đó hàm số có GTLN, GTNN trên mỗi đoạn này.

Ta có : \(y' = \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 1\)

Trên đoạn [2;4]: \(y(2)=0;y(4)=\frac{2}{3}.\)

Vậy: 

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 2 \right) = 0.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ {2;4} \right]} = y\left( 4 \right) = \frac{2}{3}.\)

Trên đoạn [-3;-2]: \(y(-3)=\frac{5}{4};y(-2)=\frac{4}{3}.\)

Vậy:

Giá trị nhỏ nhất của hàm số: \(\mathop {\min y}\limits_{x \in \left[ { - 3;-2} \right]} = y\left( { - 3} \right) = \frac{5}{4}.\)

Giá trị lớn nhất của hàm số: \(\mathop {\max y}\limits_{x \in \left[ { - 3; - 2} \right]} = y\left( { - 2} \right) = \frac{4}{3}.\)

Câu d:

Xét hàm số \(y =\sqrt{(5-4x)}\) 

Hàm số có tập xác định \({\rm{D = }}\left( { - \infty ;\frac{5}{4}} \right]\) nên xác định và liên tục trên đoạn [-1;1], do đó có GTLN, GTNN trên đoạn [-1;1].

Ta có:\(y' = - \frac{2}{{\sqrt {5 - 4x} }} < 0,\forall x \in \left[ { - 1;1} \right].\)  

Trên đoạn [-1;1]: y(-1) = 3; y(1) = 1.

Vậy:

Giá trị lớn nhất của hàm số \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} y = y( - 1) = 3.\)

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - 1;1} \right]} y = y(1) = 1.\)

-- Mod Toán 12 HỌC247