Giải bài tập SGK Bài 2 Chương 3 Hình học 12 Cơ bản & Nâng cao

Viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1; -2; 4) và nhận \(\overrightarrow{n}= (2; 3; 5)\) làm vectơ pháp tuyến.

b) Đi qua điểm A(0 ; -1 ; 2) và song song với giá của các vectơ \(\overrightarrow{u}(3; 2; 1)\)và \(\overrightarrow{v}(-3; 0; 1)\)

c) Đi qua ba điểm A(-3 ; 0 ; 0), B(0 ; -2 ; 0) và C(0 ; 0 ; -1).

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(2;3;7) và B(4;1;3).

a) Lập phương trình của các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

b) Lập phương trình của các mặt phẳng đi qua điểm M(2; 6; -3) và lần lượt song song với các mặt phẳng tọa độ.

Lập phương trình mặt phẳng :

a) Chứa trục Ox và điểm P(4 ; -1 ; 2);

b) Chứa trục Oy và điểm Q(1 ; 4 ;-3);

c) Chứa trục Oz và điểm R(3 ; -4 ; 7);

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5 ; 1 ; 3), B(1 ; 6 ; 2), C(5 ; 0 ; 4), D(4 ; 0 ; 6).

a) Hãy viết các phương trình mặt phẳng (ACD) và (BCD)

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(2 ; -1 ; 2) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) có phương trình: 2x - y + 3z + 4 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (\(\alpha\)) đi qua hai điểm A( 1; 0 ; 1), B(5 ; 2 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng: 2x - y + z - 7 = 0. 

Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:

a) \(2x + my + 3z - 5 = 0\) và  \(\small nx - 8y - 6z + 2 = 0\);

b) \(\small 3x - 5y + mz - 3 = 0\)  và  \(\small 2x + ny - 3z + 1 = 0\);

Tính khoảng cách từ điểm A(2 ; 4 ; -3) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \(2x - y + 2z - 9 = 0\);

b) \(\small 12x - 5z + 5 = 0\) ;

c) \(\small x = 0\).

Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau:

a) \((\alpha )\)$$ đi qua điểm M(2;0; 1) và nhận \(\vec n = (1;1;1)\) làm vecto pháp tuyến ;

b) \((\alpha )\)$$ đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto \(\vec u = (0;1;1),\vec v = ( - 1;0;2)\) ;

c) \((\alpha )\)$$ đi qua ba điểm M(1;1;1), N(4; 3; 2), P(5; 2; 1).

Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với A(1; -2; 4), B(3; 6; 2).

Cho tứ diện ABCD có các đỉnh là A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0 ; 4), D(4; 0 ; 6)

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)$$ đi qua điểm D và song song với mặt phẳng (ABC).

Hãy viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và song song với mặt phẳng \((\beta )\) : x + y + 2z – 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng \((\alpha )\)$$ đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng \((\beta )\) : x + 2y – z = 0 .

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

\((\alpha )\) : Ax – y + 3z + 2 = 0

\((\beta )\) : 2x + By + 6z + 7 = 0

Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; 0) lần lượt đến các mặt phẳng sau:

a) \((\alpha )\) : x + 2y – 2z + 1 = 0

b) \((\beta )\) : 3x + 4z + 25 = 0

c) \((\gamma )\) : z + 5 = 0

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

           \((\alpha )\) : 3x – y + 4z + 2 = 0

            \((\beta )\) : 3x – y + 4z + 8 = 0

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để:

a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB’D’) và (BC’D) song song.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

\((\beta )\) : 3x - 2y + 2z + 7 = 0

\((\gamma )\) : 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) \(({\alpha _1}):3x - 2y - 3z + 5 = 0,\) \((\alpha _1^\prime ):9x - 6y - 9z - 5 = 0\)

b) \(({\alpha _2}):x - 2y + z + 3 = 0,\) \((\alpha _2^\prime ):x - 2y - z + 3 = 0\)

c) \(({\alpha _3}):x - y + 2z - 4 = 0,\) \((\alpha _3^\prime ):10x - 10y + 20z - 40 = 0\)

Viết phương trình của mặt phẳng \((\beta )\) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – y + 3z + 4 = 0

Lập phương trình của mặt phẳng \((\alpha )\)$$ đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm M(2; 0; −1); N(1; −2; 3); P(0; 1; 2)

b) Đi qua hai điểm A(1; 1; −1); B(5; 2; 1) và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mật phẳng cho bởi các phương trình sau:

a) x + 2y − z + 5 = 0 và 2x + 3y − 7z − 4 = 0
b) z − 2y + z − 3 = 0 và 2x − y + 4z − 2 = 0
c) x + y + z − 1 = 0 và 2x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) 3x − 2y + 3z + 5 = 0 và 9x − 6y − 9z − 5 = 0
e) x − y + 2z − 4 = 0 và 10x − 10y + 20z − 40 = 0

Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song:

a) 2x + ny + 2z + 3 = 0 và mx + 2y − 4z + 7 = 0
b) 2x + y + mz − 2 = 0 và x + ny + 2z + 8 = 0.

Cho hai mặt phẳng có phương trình là

2x − my + 3z − 6 + m = 0 và (m + 3)x− 2y + (5m + 1)z − 10 = 0

Với giá trị nào của m thì:

a) Hai mặt phẳng đó song song 

b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau

c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau 

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α′) trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a)(\alpha ):2x - y + 4z + 5 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):3x + 5y - z - 1 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
b)(\alpha ):2x + y - 2z - 1 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):6x - 3y + 2z - 2 = 0
\end{array}\\
\begin{array}{l}
c)(\alpha ):x + 2y + z - 1 = 0\\
\,\,\,\,(\alpha \prime ):x + 2y + z + 5 = 0
\end{array}
\end{array}\)

Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D′ = 0 với D ≠ D′

Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau:

a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z − 17 = 0

b) M cách đều hai mặt phẳng x + y − z + 1 = 0 và x − y + z + 5 = 0

Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ  lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp toạ độ, hãy chứng minh :

a) Tam giác ABC có ba góc nhọn.

b) \(co{s^2}\alpha  + co{s^2}\beta  + co{s^2}\gamma  = 1\)

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y − 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z − 2 = 0