Bài tập 2 trang 89 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Bài toán viết phương trình tham số của đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của đi trên mặt phẳng (P) cho trước:

Cách 1: Áp dụng cho trường hợp tổng quát:

+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).

+ d' chính là giao tuyến của mặt phẳng (Q) và (P).

Cách 2: (P) là các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz).

+ Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxy) thì z=0.

+ Các điểm thuộc mặt phẳng (Oxz) thì y=0.

+ Các điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) thì x=0.

Từ đó ta suy ra ngay phương trình các đường thẳng cần tìm.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 2 như sau:

Câu a:

Cách 1

Phương trình mp(Oxy) là z = 0.

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với (Oxy)

Vectơ chỉ phương của d là \(\vec{a}=(1;2;3)\)

Mp\((\alpha )\) nhận cặp vectơ chỉ phương là \(\vec{a}\) và \(\vec{k}=(0;0;1)\), do đó vectơpháp tuyến của \((\alpha )\) là \(\vec{n}_\alpha =\left [ \vec{a}; \vec{k} \right ]=(2;-1;0)\)

Hình chiếu vuông góc d' của d trên Oxy là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha )\) và (Oxy).

Ta có \((\alpha )\) đi qua M(2;-3;1) và vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_\alpha =(2;-1;0)\) nên \((\alpha )\) có phương trình: \(2(x-2) - (y+3) = 0\)

Vậy \(M(x;y;z)\in d'\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-y-7=0\\ z=0 \end{matrix}\right. (*)\)

Vectơ chỉ phương của d' vuông góc với \(\vec{n}_\alpha\) và \(\vec{k}\) nên d' có vecto chỉ phương là: \(\vec{a}_{d'} =\left [ \vec{n}_d; \vec{k} \right ]=(-1;-2;0)\)

Từ (*) cho x = 2 ⇒ y = -3, z = 0 do đó \(A(2;-3;0)\in d'\)

Phương trình tham số của d' là: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t \\ z =0& \end{matrix}\right.\).

Cách 2:

Khi chiếu vuông góc tất cả các điểm thuộc đường thẳng d lên mặt phẳng (Oxy), ta được các hình chiếu có tung độ và hoành độ giữ nguyên so với điểm ban đầu, cao độ bằng 0.

Vậy phương trình tham số hình chiếu của d lên mặt phẳng (Oxy) là \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y = -3 +2t \\ z =0& \end{matrix}\right.\).

Câu b:

Cách 1

Phương trình mp(Oyz) là x=0.

Gọi \((\beta )\) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp(Oyz).

Mp\((\beta )\) nhận \(\vec{a}\) và \(\vec{i}=(1;0;0)\) làm cặp vectơ chỉ phương nên vectơ pháp tuyến của \((\beta )\) là: \(\vec{n}_{\beta } =\left [ \vec{a}; \vec{i} \right ]=(0;3;-2)\)

\((\beta )\) đi qua M(2;-3;1) và vectơ pháp tuyến \(\vec{n}_{\beta }\) nên \((\beta )\) có phương trình:

\(3(y-2)-2(z-1)=0\Leftrightarrow 3y-2z-4=0\)

Ta có \(M(x;y;z)\in d''\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x-2z-4=0\\ x=0 \end{matrix}\right.\)

(d'' là hình chiếu của d lên mp(Oyz).

Vectơ chỉ phương của d'' vuông góc với \(\vec{n}_{\beta }\) và \(\vec{i}\) nên d'' có vectơ chỉ phương là: \(\vec{a}_{d'} =\left [ \vec{n}_\beta ; \vec{i} \right ]=(0;-2;-3)\)

Từ (**) cho z = 1 ⇒ y = 2, x = 0. Do đó \(B(0;2;1)\in d''\)

Phương trình tham số của d'' là: \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=2-2t \\ z=1-3t& \end{matrix}\right.\).

Cách 2:

Khi chiếu vuông góc tất cả các điểm thuộc đường thẳng d lên mặt phẳng (Oyz), ta được các hình chiếu có tung độ và cao độ giữ nguyên so với điểm ban đầu, hoành độ bằng 0.

Vậy phương trình tham số hình chiếu của d lên mặt phẳng (Oxy) là \(\left\{\begin{matrix} x=0 & \\ y=2-2t \\ z=1-3t& \end{matrix}\right.\).

-- Mod Toán 12 HỌC247