Bài tập 32 trang 104 SGK Hình học 12 NC
Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình:
\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5};\)
\(\left( \alpha \right):2x + y + z - 8 = 0\)
a) Tìm góc giữa d và (α)
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α)
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Đường thẳng d có vectơ chỉ phương , mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u = (2;3;5)\).
Gọi φ là góc giữa d và (α) thì 0 ≤ φ ≤ 900 và
\(\begin{array}{l}
\sin \varphi = \frac{{\left| {\vec u.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|}}\\
= \frac{{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{6}{{\sqrt {57} }}
\end{array}\)
b) Phương trình tham số
\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y = - 1 + 3t\\
z = 1 + 5t
\end{array} \right.\)
Thay x, y, z vào phương trình (α) ta có:
\(2(2 + 2t) + ( - 1 + 3t) + (1 + 5t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)
\( \Rightarrow M\left( {\frac{8}{3};0;\frac{8}{3}} \right)\)
c) Gọi (β) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (α) thì hình chiếu d’ của d trên (α) là giao tuyến của (α) và (β).
Bởi vậy ta cần tìm phương trình của (β).
Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của (β) vuông góc với cả \(\overrightarrow u ;\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\vec u,\vec n} \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\)
(β) đi qua d nên cũng đi qua điểm A(2; −1; 1). Do đó (β) có phương trình:
\(\begin{array}{l}
- 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0\\
\Leftrightarrow - x + 4y - 2z + 8 = 0
\end{array}\)
Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:
\(\begin{array}{l}
\vec a = [\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} ]\\
= \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
4&{ - 2}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 2}&{ - 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
{ - 1}&4
\end{array}} \right|} \right)\\
= ( - 6;3;9) = 3( - 2;1;3)
\end{array}\)
Vậy d' có phương trình tham số:
\(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{8}{3} - 2t\\
y = t\\
z = \frac{8}{3} + 3t
\end{array} \right.\)
-- Mod Toán 12 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
bởi Ban Mai
07/02/2017
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian Oxyz cho điểm đường thẳng d: \(\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{2}\) và mặt phẳng (P) có phương trình x - y - z + 1 = 0. Tìm giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) qua A vuông góc với d và nằm trong (P).
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Viết phương trình đường thẳng cắt trục oy và cắt cả ba đường thẳng d1; d2 và d3
bởi Hong Van
07/02/2017
Hôm qua làm kiểm tra 1 tiết Toán, mình giải không biết đúng hay sai nữa!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba đường thẳng \(d_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{1};d_2:\frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{-8}=\frac{z+1}{-2}\) và \(d_3\left\{\begin{matrix} x=2+t\\ y=-5-t\\ z=-3+2t \end{matrix}\right. \ (t\in \mathbb{R})\). Xét vị trí tương đối của d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng cắt trục oy và cắt cả ba đường thẳng d1; d2 và d3.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x – y + 2z = 0 và hai đường thẳng \(d: \frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{3}=\frac{z-1}{2},d': \frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{1}\). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d và cắt đường thẳng d'.
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d.
bởi Lê Nhật Minh
06/02/2017
Hôm nay thầy em giao bài này về nhà mà em không có biết làm, mn giúp em vs!
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;1;3) và đường thẳng \(d:\frac{x+1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{3}\). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB = \(\sqrt{5}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Viết phương trình đường thẳng AB, tìm góc giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (P),
bởi Nguyễn Hiền
08/02/2017
Mình giải ra đáp số rồi mà không biết đúng hay sai nữa, khó quá.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A (-1;-1; 2), B(3;1;1) và mặt phẳng (P); x - 2y + 3z - 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng AB, tìm góc giữa đường thẳng AB với mặt phẳng (P), và tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng AB với mặt phẳng (P)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d
bởi Nguyễn Anh Hưng
07/02/2017
mn người ơi, giải giúp em vs, bài này khó quá!
Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng \((P): 2x+y+z-2=0\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+2}{-3}\) cắt nhau tại điểm A. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) đi qua A, nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.
Theo dõi (0) 1 Trả lời
