Giải bài tập SGK Bài 3 Chương 3 Hình học 12 Cơ bản & Nâng cao

Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các trường hợp sau:

a) d đi qua điểm M(5 ; 4 ; 1) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}=(2 ; -3 ; 1)\) ;

b) d đi qua điểm A(2 ; -1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: \(x + y - z + 5 = 0\);

c) d đi qua điểm B(2 ; 0 ; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 3 - 3t\\
z = 4t
\end{array} \right.\)                 

d) d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=-3+2t & \\ z= 1+3t& \end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a) (Oxy).

b) (Oyz).

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) \(d: \left\{\begin{matrix} x=-3+2t & \\ y=-2+3t& \\ z=6+4t& \end{matrix}\right.\)  và  \(d':\left\{\begin{matrix} x=5+t'& \\ y=-1-4t'& \\ z=20+t'& \end{matrix}\right.\) ;

b) \(d: \left\{\begin{matrix} x=1+t& \\ y=2+t& \\ z=3-t& \end{matrix}\right.\)   và   \(d':\left\{\begin{matrix} x=1+2t'& \\ y=-1+2t'& \\ z=2-2t'.& \end{matrix}\right.\)

Tìm a để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

\(d:\left\{\begin{matrix} x=1+at & \\ y=t & \\ z= -1+2t & \end{matrix}\right.\)     \(d':\left\{\begin{matrix} x=1-t' & \\ y=2+2t' & \\ z= 3-t'. & \end{matrix}\right.\) 

Tìm số giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) :

a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((\alpha ): 3x + 5y - z - 2 = 0\);

b) d:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\)  và \((\alpha ) : x + 3y + z = 0\) ;

c) d:  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 1 + 2t\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\)  và \((\alpha ) : x + y + z - 4 = 0\).

Tính khoảng cách giữa đường thẳng  ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=-3 +2t & \\ y=-1+3t & \\ z=-1 +2t & \end{matrix}\right.\) với mặt phẳng \(\small (\alpha ) : 2x - 2y + z + 3 = 0\).

Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆: \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng \(\small (\alpha ): x + y + z -1 = 0\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\small (\alpha )\).

Cho hai đường thẳng: \(d: \left\{\begin{matrix} x=1-t & \\ y=2+2t & \\ z=3t& \end{matrix}\right.\)   và \(d': \left\{\begin{matrix} x=1+t' & \\ y=3-2t' & \\ z=1& \end{matrix}\right.\). Chứng minh d và d' chéo nhau.

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và B'D'C). 

Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:

a)  \(\Delta \) đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\vec a = (3;3;1)\) ;

b)  \(\Delta \)$$ đi qua điểm B(1; 0; -1) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) :  2x – y + z + 9 = 0

c)  \(\Delta \)$$ đi qua hai điểm C(1; -1; 1) và D(2; 1; 4)

Viết phương trình của đường thẳng \(\Delta \) nằm trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\): y +2z = 0 và cắt hai đường thẳng d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - t\\
y = t\\
z = 4t
\end{array} \right.\) và d₂: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t'}\\
{y = 4 + 2t'}\\
{z = 4}
\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau:

a) \(d:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 4}}{2}\)

b) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 9 + 2t'}\\
{y = 8 + 2t'}\\
{z = 10 - 2t'}
\end{array}} \right.\)

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - t\\
y = 3t\\
z =  - 1 - 2t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 0}\\
{y = 9}\\
{z = 5t'}
\end{array}} \right.\)

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song: \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 5 + t\\
y = at\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t'}\\
{y = a + 4t'}\\
{z = 2 - 2t'}
\end{array}} \right.\)

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng \((\alpha )\) trong các trường hợp sau

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 1 + 2t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x + 2y + z - 3 = 0

b) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - t}\\
{y = t}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right.\) và \((\alpha )\) : x + z + 5 = 0

c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 - t\\
y = 2 - t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \((\alpha )\) : x +y + z -6 = 0  

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}\)

Cho đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{2}\) và mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x – 2y + z + 3 = 0

a) Chứng minh rằng \(\Delta \)$$ song song với \((\alpha )\).

b) Tính khoảng cách giữa \(\Delta \) và \((\alpha )\).

Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng Δ và Δ′ trong các trường hợp sau:

a) \({\rm{\Delta }}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t}\\
{y =  - 1 - t}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 2 - 3t'}\\
{y = 2 + 3t'}\\
{z = 3t'}
\end{array}} \right.\)

b) \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 4 - t\\
z =  - 1 + 2t
\end{array} \right.\) và \({\rm{\Delta '}}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = t'}\\
{y = 2 - 3t'}\\
{z =  - 3t'}
\end{array}} \right.\)

Cho hai đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{{z - 4}}{{ - 2}}\)

                               \({\rm{\Delta '}}:\frac{{x + 2}}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 1}}{4}\)

a) Xét vị trí tương đối giữa Δ và Δ′ ;

b) Tính khoảng cách giữa Δ và Δ′.

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng \({\rm{\Delta }}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\)

a) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng Δ;

b) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng Δ.

Cho hai đường thẳng: \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{z}{3}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + t'}\\
{y = 3 - 2t'}\\
{z = 1}
\end{array}} \right.\)

Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Bằng phương pháp tọa độ hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CA’ và  DD’.

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) : 2x + y  +z – 1 = 0  và đường thẳng \(d: \frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 3}}\)

Gọi M là giao điểm của d và \((\alpha )\)$$ , hãy viết phương trình của đường thẳng Δ đi qua M vuông góc với d và nằm trong \((\alpha )\).

Cho hai đường thẳng d₁: \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{{ - 3}} = \frac{{z - 5}}{4}\) và d₂: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 7 + 3t}\\
{y = 2 + 2t}\\
{z = 1 - 2t}
\end{array}} \right.\)

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂ cùng nằm trong một mặt phẳng\((\alpha )\)$$.

b) Viết phương trình của \((\alpha )\)$$.

Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm M₀(x₀; y₀ ; z₀) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - 1;3;5)\)

d) Đường thẳng đi qua N(−2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( 0; 0; -3)\)

e) Đường thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x − 5y + 4 = 0

g) Đường thẳng đi qua P(2; 3; −1) và Q(1; 2; 4)

Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 3t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\)

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình: \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 8 + 4t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\) 

Và mặt phẳng (P): x + y + z − 7 = 0

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a)

\(d:\frac{{x - 1}}{2} = y - 7 = \frac{{z - 3}}{4};\)

\(d':\frac{{x - 3}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\)

b)

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = - 3 - 4t \hfill \cr 
z = - 3 - 3t \hfill \cr} \right.\)

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + y - z = 0,\) \(\left( {\alpha '} \right):2x - y + 2z = 0\).

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; −1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = t\\
z = 3 - t
\end{array} \right.;d\prime :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 1 - 2t\\
z = 2 + t
\end{array} \right.\)

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d₁ và cắt cả hai đường thẳng d₂ và d₃, biết phương trình của d₁, d₂ và d₃ là:

\(\begin{array}{l}
{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 2 + 4t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\\
{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\\
{d_3}:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 4 + 5t'\\
y =  - 7 + 5t'\\
z = t'
\end{array} \right.
\end{array}\)

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + t\\
y = 5 + 2t\\
z = 8 - t
\end{array} \right.;\)

\({d_2}:\frac{{3 - x}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d₁ và d₂.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁ và d₂

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình: 

\(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5};\)

\(\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\)

a) Tìm góc giữa d và (α)
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α)
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α)

Cho đường thẳng Δ và mp(P) có phương trình:

\(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2};\)

\(\left( P \right):2x + z - 5 = 0\)

a) Xác định tọa độ giao điểm A của Δ và (P).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với Δ

a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng Δ có phương trình \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)

b) Tính khoảng cách từ điểm N(2;3;−1) đến đường thẳng Δ đi qua điểm  \({M_0}\left( { - \frac{1}{2};0; - \frac{3}{4}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 4;2; - 1} \right)\)

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y =  - 1 - t\\
z = 1
\end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 3t'\\
y =  - 2 - 3t'\\
z = 3
\end{array} \right.\)

b) \(d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};\)

\(d':\left\{ \begin{array}{l}
x =  - t'\\
y = 2 + 3t'\\
z =  - 4 + 3t'
\end{array} \right.\)