Bài tập 7 trang 91 SGK Hình học 12

Phương pháp:

Để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng \(\Delta\) ta thực hiện các bước sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua A và vuông góc với \(\Delta\).

+ Tìm giao điểm của \((\alpha )\) và \(\Delta\) chính là tọa độ của điểm H cần tìm.

A' đối xứng với A qua \(\Delta\) suy ra H chính là trung điểm của AA'.

Lời giải:

Ta có lời giải chi tiết câu a, b bài 7 như sau:

Câu a:

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương \(\vec{a}_\Delta= (1 ; 2 ; 1)\)

Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ∆

Khi đó \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\vec{n}_\alpha =\vec{a}_\Delta =(1;2;1)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(1.(x-1) +2.y+1.z=0\Leftrightarrow x+2y+z-1=0\)  (1)

Hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng ∆ là giao điểm của ∆ và \((\alpha )\).

Thay x = 2 + 1, y = 1 + 2t, z = t vào (1) ta được

\(2+t+2+4t+t-1=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(H\left( {\frac{3}{2};0; - \frac{1}{2}} \right)\)

Câu b:

A' là điểm đối xứng của A qua ∆.

Suy ra H chính là trung điểm của AA', với H là hình chiếu vuông góc của A lên ∆.

\(\left\{ \begin{array}{l} {x_H} = \frac{{{x_A} + {x_{A'}}}}{2}\\ {y_H} = \frac{{{y_A} + {y_{A'}}}}{2}\\ {z_H} = \frac{{{z_A} + {z_{A'}}}}{2} \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2\\ {y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 0\\ {z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = - 1 \end{array} \right.\)

Vậy ta được A'(2;0;-1).

-- Mod Toán 12 HỌC247