Giải bài tập Toán 10 Chương 4 Bài 1 Bất đẳng thức

Chứng minh rằng, nếu a > b và ab > 0 thì \(\frac{1}{a} < \frac{1}{b}\)

 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của x?

a) \(8x > 4x\)

b) \(4x > 8x\)

c) \(8x^2 > 4x^2\)

d) \(8 + x > 4 + x\)

Cho số \(x > 5\), số nào trong các số sau đây là nhỏ nhất?

\(A=\frac{5}{x};\)         \(B=\frac{5}{x}+1;\)        

\(C=\frac{5}{x}-1;\)      \(D=\frac{x}{5}\)

Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh \((b-c)^2 < a^2\)

b) Từ đó suy ra \(a^2 + b^2 + c^2 < 2(ab + bc +ca).\)

Chứng minh rằng: 

\(x^3 + y^3 \geq x^2y + xy^2, \forall x \geq 0, \forall y \geq 0.\)

Chứng minh rằng:  \(x^4 - \sqrt{x^5} + x - \sqrt{x} + 1 > 0, \forall x \geq 0.\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm O bán kính 1. Xác định tọa độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({x^4} + {y^4} \ge {x^3}y + x{y^3}\)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({x^2} + 4{y^2} + 3{z^2} + 14 > 2x + 12y + 6z\)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} \ge \frac{{16}}{{a + b + c + d}}\)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({a^2}b + \frac{1}{b} \ge 2a\)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) \ge 8bc\)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\({\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)^2} \ge 2\sqrt {2\left( {a + b} \right)\sqrt {ab} } \)

Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \ge \frac{9}{{a + b + c}}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

\(y = \frac{4}{x} + \frac{9}{{1 - x}}\) với 0 < x < 1

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

\(y = 4{x^3} - {x^4}\) với \(0 \le x \le 4\)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó:

\(y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x} \)

Chứng minh rằng: 

\(\left| {x - z} \right| \le \left| {x - y} \right| + \left| {y - z} \right|,\forall x,y,z\)

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. a < b ⇒ ac < bc          B. a < b ⇒ \(\frac{1}{a}\) > \(\frac{1}{b}\)

C. a < b ⇒ a² < b²          D. a < b ⇒ a³ < b³

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A. |x| ≥ 0, ∀ x                B. |x| + x ≥ 0, ∀ x

C. |x| ≥ a, ⇒ x ≥ a          D. |x| - x ≥ 0, ∀ x

Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

A. \(a < b \Rightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\)

B. \(a < b \Rightarrow \sqrt a  < \sqrt b \)

C. \(a < b \Rightarrow {a^2} < {b^2}\)

D. \(a < b \Rightarrow \frac{1}{a} > \frac{1}{b}\)

Cho hàm số y = f(x) với tập xác định D. Trong các phát biểu sau đây phát biểu nào đúng?

A. Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là số lớn hơn mọi giá trị của hàm số.

B. Nếu f(x) ≤ M, ∀x ∈ D thì M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x).

C. Số M = f(x₀) trong đó x₀ ∈ D là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) nếu M > f(x), ∀x ∈ D

D. Nếu tồn tại x₀ ∈ D sao cho M = f(x₀) và M ≥ f(x),∀x ∈ D thì M là giá trị lớn nhất của hàm số đã cho.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau trên [-1; 1]

\(y = \sqrt {1 - x}  + \sqrt {1 + x} \)

    A. max y = 0          B. max y = 2

    C. max y = 4          D. max y = \(\sqrt 2 \)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{x} + \frac{1}{{1 - x}}\) với tập xác định D = (0; 1)

A. \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} y = 4\)

B. \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} y = 2\)

C. \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} y = \frac{1}{2}\)

D. \(\mathop {\min }\limits_{x \in D} y = 16\)

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \)

(không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) \(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a  + \sqrt {a + 6} \,\left( {a \ge 0} \right)\)

Chứng minh rằng, nếu a > 0 và b > 0 thì \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\)

Chứng minh rằng nếu a ≥ 0 và b ≥ 0 thì a³ + b³ ≥  ab(a + b). Khi nào đẳng thức xảy ra?

a) Chứng minh rằng a² + ab + b² ≥ 0 với mọi số thực a, b.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tùy ý, ta có a⁴ + b⁴ ≥ a³b + ab³

Chứng minh rằng nếu a, b và c là độ dài ba cạnh một tam giác thì a² + b² + c² < 2(ab + bc + ca).

Chứng minh rằng nếu  a ≥ 0 và b > 0 thì 

\(\frac{{a + b}}{2}.\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le \frac{{{a^3} + {b^3}}}{2}\)

a) Chứng minh rằng, nếu \(x \ge y \ge 0\) thì \(\frac{x}{{1 + x}} \ge \frac{y}{{1 + y}}\)

b) Chứng minh rằng đối với hai số tùy ý a, b ta có: \(\frac{{\left| {a - b} \right|}}{{1 + \left| {a - b} \right|}} \le \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}}\)

Chứng minh rằng:

a) Nếu a, b là hai số cùng dấu thì \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\)

b) Nếu a, b là hai số trái dấu thì \(\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \le  - 2\)

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(x) = (x + 3)(5 – x) với −3 ≤ x ≤ 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{2}{{x - 1}}\) với x > 1

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì \(\frac{{{a^4}}}{b} + \frac{{{b^4}}}{c} + \frac{{{c^4}}}{a} \ge 3abc\)

Một khách hàng đến một cửa hàng bán hoa quả mua 2kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa cân bên trái cho đến khi cân thăng bằng và lần sau, đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên trái và cam lên đĩa cân bên phải cho đến khi cân thăng bằng. Nếu cái cân đĩa đó không chính xác (do hai cánh tay đòn dài, ngắn khác nhau) nhưng quả cân là đúng 1kg thì khách hàng có mua được đúng 2kg cam hay không? Vì sao?

Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:

a) \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 1\)

b) \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {4 - x} \)

Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, ta có:

(a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là bốn số không âm thì \({\left( {\frac{{a + b + c + d}}{4}} \right)^4} \ge abcd\)

Chứng minh rằng:

a) Nếu x² + y² thì \(\left| {x + y} \right| \le \sqrt 2 \)

b) Nếu 4x - 3y = 15 thì \({x^2} + {y^2} \ge 9\)