Bài tập 16 trang 112 SGK Toán 10 NC
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, ta có:
a) \(\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} < 1\)
b) \(\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} < 2\)
Hướng dẫn giải chi tiết
a) Ta có \(\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = \frac{1}{k} - \frac{1}{{k + 1}},\forall k \ge 1\)
Do đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\\
= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}
\end{array}\\
{ = 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1}
\end{array}\)
b) Ta có \(\frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} \)
\(\Rightarrow \frac{1}{{{k^2}}} < \frac{1}{{k - 1}} - \frac{1}{k}\left( {k \ge 2} \right)\)
Do đó:
\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\\
< 1 + \left( {1 - \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{n - 1}} - \frac{1}{n}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\Rightarrow \frac{1}{{{1^2}}} + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}\\
< 2 - \frac{1}{n} < 2
\end{array}
\end{array}\)
-- Mod Toán 10 HỌC247
Bài tập SGK khác
-
Chứng minh rằng: \(\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+2ab}\leq \frac{7}{6}\)
bởi thuy tien
08/02/2017
Cho các số thực dương a, b thỏa mãn: \(a^4+b^4+\frac{1}{ab}\leq ab+2\)
Chứng minh rằng: \(\frac{2}{1+a^2}+\frac{2}{1+b^2}-\frac{3}{1+2ab}\leq \frac{7}{6}\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng: \(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}
bởi Nguyễn Tiểu Ly
08/02/2017
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{c+a}+\frac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{a+b}\)\(\geq \frac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{1+a^{2}(b+c)}+\frac{1}{1+b^{2}(c+a)}+\frac{1}{1+c^{2}(a+b)}\leq \frac{1}{abc}.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng: \(\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}\)
bởi Nguyễn Trung Thành
08/02/2017
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^{2}}{(ab+2)(2ab+1)}+\frac{b^{2}}{(bc+2)(2bc+1)}+\frac{c^{2}}{(ac+2)(2ac+1)}\geq \frac{1}{3}\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
ADMICRO
Chứng minh rằng: \(a\left ( \frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c} \right )+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2\)
bởi Lan Anh
07/02/2017
Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
\(a\left ( \frac{1}{3a+b}+\frac{1}{3a+c}+\frac{2}{2a+b+c} \right )+\frac{b}{3a+c}+\frac{c}{3a+b}<2\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^{2}(3b+3c-5)}+\frac{1}{b^{2}(3c+3a-5)}+\frac{1}{c^{2}(3a+3b-5)}\geq 3.\)
bởi Mai Trang
07/02/2017
Với a, b, c là các số thực dương, nhỏ hơn \(\frac{4}{3}\) và thỏa mãn a + b + c = 3, chứng minh rằng:
\(\frac{1}{a^{2}(3b+3c-5)}+\frac{1}{b^{2}(3c+3a-5)}+\frac{1}{c^{2}(3a+3b-5)}\geq 3.\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)
bởi Nhat nheo
06/02/2017
Cho a, b, c là các số dương và a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\(P=\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{3b+ca}}+\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Chứng minh rằng \(\frac{a}{\sqrt{a^2+8c^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab^2}}\geq 1\)
bởi Mai Anh
08/02/2017
Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng
\(\frac{a}{\sqrt{a^2+8c^2}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8a}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab^2}}\geq 1\)Theo dõi (0) 1 Trả lời -
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = \(2\sqrt{2}\) \(\frac{x^{8}+y^{8}}
bởi Nguyễn Tiểu Ly
07/02/2017
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = \(2\sqrt{2}\)
\(\frac{x^{8}+y^{8}}{x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2}}+\frac{y^{8}+z^{8}}{y^{4}+z^{4}+y^{2}z^{2}}\frac{x^{8}+z^{8}}{x^{4}+z^{4}+x^{2}z^{2}}\geq 8\)
Theo dõi (0) 1 Trả lời
