Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn xyz = \(2\sqrt{2}\) \(\frac{x^{8}+y^{8}}

Ta có \(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{a^{4}+b^{4}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})}\)

Ta sẽ chứng minh: \(\frac{a^{4}+b^{4}}{\frac{3}{2}(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2})\; \; \; \; (1)\)

Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{2}+b^{2})^{2}\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2})^{2}\geq 0\) luôn đúng

Do đó a được: \(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}\geq \frac{1}{3}(a^{2}+b^{2})\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a^{2}=b^{2}\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng BĐT trên ta có:

\(\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}+bc}\geq \frac{1}{3}(b^{2}+c^{2})\) Dấu "=" có \(\Leftrightarrow b=c\)

\(\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}+aa}\geq \frac{1}{3}(c^{2}+a^{2})\) Dấu "=" có \(\Leftrightarrow c=a\)

Cộng các vế BĐT trên ta được:

\(\frac{a^{4}+b^{4}}{a^{2}+b^{2}+ab}+\frac{b^{4}+c^{4}}{b^{2}+c^{2}+bc}+\frac{c^{4}+a^{4}}{c^{2}+a^{2}+aa}\geq \frac{2}{3}(a^{2}+b^{2}+c^{2})\; \; \; \; (2)\)

Dấu "=" có \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Theo BĐT cosi ta có \(\geq 2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}=8\) Dấu "=" có \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Do đó ta có ĐPCM.

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow \left | x \right |=\left | y \right |=\left | z \right |=\sqrt{2}\)