Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1

a) Mệnh đề toán học

Mỗi mệnh đề toán học phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề toán học không thể vừa đúng, vửa sai.

b) Mệnh đề chứa biến

Câu "chia hết cho 3" với n là số tự nhiên là một mệnh đề chứa biến.

Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa bgiến x, y là P(x; y);...

c) Phủ định của một mệnh đề

Cho mệnh đề P. Mệnh đề "Không phải P" được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và kí hiệu là \(\overline P \). 

d) Mệnh đề kéo theo

Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề "Nếu P thì Q" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).

Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) sai hi P đúng, Q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

Nhận xét: 

Tuỳ theo nội dung cụ thể, đôi khi người ta còn phát biểu mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) là "P kéo theo Q" hay "P suy ra Q" hay "Vì P nên Q"...

Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường phát biểu ở dạng mệnh đề kéo theo \(P \Rightarrow Q\). 

Khi đó ta nói: P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hay P là điều kiện đủ đề có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

e) Mệnh đề đảo. Hai mệnh đề tương đương

Mệnh đề \(Q \Rightarrow P\) được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề \(P \Rightarrow Q\). 

Nếu cả hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) đều đúng thì ta nói P và Q là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu \(P \Leftrightarrow Q\).

Trong toán học, những câu khẳng định đúng phát biểu ở dạng "\(P \Leftrightarrow Q\)" cũng được coi là một mệnh đề toán học, gọi là mệnh đề tương đương.

Nhận xét: Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) có thể phát biểu ở những dạng như sau:

• "P tương đương Q";

• "P là điều kiện cận và đủ để có Q";

• "P khi và chỉ khi Q";

• "P nếu và chỉ nếu Q".

f) Kí hiệu ∀ và ∃

Cho mệnh đề "P(x), x \( \in \) X".

• Phủ định của mệnh đề \(\forall x \in X,P(x)\) là mệnh đề \(\exists x \in X,\overline {P(x)} \) 

• Phủ định của mệnh đề \(\exists x \in X,P(x)\) là mệnh đề \(\forall x \in X,\overline {P(x)} \) 

a) Tập con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập con của B và viết là \(A \subset B\). Ta còn đọc là A chứa trong B.

Qui ước: Tập hợp rỗng \(\emptyset \) được coi là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý: \(A \subset B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Rightarrow x \in B} \right).\)

Khi \(A \subset B\), ta cũng viết \(B \supset A\) (đọc là B chứa A)

Nếu A không phải là tập con của B, ta viết \(A \not\subset B\).

Ta có các tính chất sau:

• \(A \subset A\) với mọi tập hợp A;

• Nếu \(A \subset B\) và \(B \subset C\) thì \(A \subset C\)

*Tập hợp bằng nhau

Khi \(A \subset B\) và \(B \subset A\) thì ta nói hai tập hợp A và B bằng nhau, viết là A = B.

Chú ý: \(A = B \Leftrightarrow \left( {\forall x,x \in A \Leftrightarrow x \in B} \right)\). 

b) Giao của hai tập hợp

Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc tập hợp A vừa thuộc tập hợp B được gọi là giao của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cap B\).

Vậy \(A \cap B = {\rm{\{ x|x}} \in {\rm{A}}\) và \(x \in {\rm{B\} }}\)

Tập hợp \(A \cap B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Lưu ý: \(x \in A \cap B\) khi và chỉ khi \(x \in A\) và \(x \in B\)

c) Hợp của hai tập hợp

Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B được gọi là hợp của hai tập hợp A và B, kí hiệu \(A \cup B\)

Vậy \(A \cup B\) = {x | x \(\in\) A hoặc x \(\in\) B}.

Tập hợp \(A \cup B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

Lưu ý: \(x \in A \cup B\) khi và chỉ khi \(x \in A\) hoặc \(x \in B\)

d) Phần bù. Hiệu của hai tập hợp

- Cho tập hợp A là tập con của tập hợp B. Tập hợp những phần tử thuộc B mà không thuộc A được gọi là phần bù của A trong B, kí hiệu \({C_B}A\)

- Tập hợp gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B được gọi là hiệu của A và B, kí hiệu A\B.

Vậy \(A\backslash B\) = {x | x \(\in\) A và x \(\notin\) B}.

Tập hợp \(A\backslash B\) được minh họa bởi phần gạch chéo trong hình sau

e) Các tập hợp số

Các tập hợp số đã học

Ta có quan hệ sau: \(N \subset Z \subset Q \subset R\)

Câu 1: Cho hai tập hợp:

\(A = \{ n \in N|n\)chia hết cho 3},

\(B = \{ n \in N|n\)chia hết cho 9}.

Chứng tỏ rằng \(B \subset A.\)

Hướng dẫn giải

Lấy n bất kì thuộc tập hợp B.

Ta có: n chia hết cho 9 \( \Rightarrow n = 9k\;\;(k \in \mathbb{N})\)

\( \Rightarrow n = 3.(3k)\;\; \vdots \;3\;\;(k \in \mathbb{N})\)

\( \Rightarrow n \in A\)

Như vậy, mọi phần tử của tập hợp B đều là phần tử của tập hợp A hay \(B \subset A.\)

Câu 2: Cho hai tập hợp:

\(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 2 \le x \le 3} \right\}\)

\(B = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} - x - 6 = 0\} \)

Tìm \(A\,{\rm{\backslash }}\,B\) và \(B\,{\rm{\backslash }}\,A\).

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A = \left\{ {x \in \mathbb{Z}| - 2 \le x \le 3} \right\} = \{  - 2; - 1;0;1;2;3\} \)

Và \(B = \{ x \in \mathbb{R}|{x^2} - x - 6 = 0\}  = \{  - 2;3\} \)

Khi đó:

Tập hợp \(A\,{\rm{\backslash }}\,B\) gồm các phần tử thuộc A mà không thuộc B. Vậy\(A\,{\rm{\backslash }}\,B = \{  - 1;0;1;2\} \).

 Tập hợp \(B\,{\rm{\backslash }}\,A\) gồm các phần tử thuộc B mà không thuộc A. Vậy \(B\,{\rm{\backslash }}\,A = \emptyset \)

Câu 3: Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và nhận xét tính đúng sai của mệnh đề phủ định đó.

P: “5,15 là một số hữu tỉ”;

Q: “2 023 là số chẵn”.

Hướng dẫn giải

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là \(\overline P \): “5,15 không phải là một số hữu tỉ”

Mệnh đề P đúng, \(\overline P \) sai vì \(5,15 = \frac{{103}}{{20}} \in \mathbb{Q}\), là một số hữu tỉ.

+) Mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là \(\overline Q \): “2 023 không phải là số chẵn” (hoặc “2 023 là số lẻ”)

Mệnh đề Q sai, \(\overline Q \) đúng vì 2 023 có chữ số tận cùng là \(3 \ne \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\), đo đó 2 023 không phải là số chẵn.

Qua bài giảng này giúp các em:

- Mệnh đề, phủ định của một mệnh đề, mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, mệnh đề tương đương. 

- Tập hợp con, hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp. 

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tập hợp A, B đồng thời thỏa mãn các điều kiện sau:  A ∩ B = {0; 1; 2; 3; 4}; A \ B = {-3; -2}; B \ A = {6; 9; 10}. Phát biểu nào sau đây đúng?

  • A. A = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 9; 10}.
  • B. A = {0; 1; 2; 3; 4; 3; -2}.
  • C. B = {0; 1; 2; 3; 4; -3; -2}.
  • D. B = {0; 1; 2; 3; 4; -3; -2; 6; 9; 10}.

• Câu 2:

  Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào đúng?

  • A. \(\forall x \in R,{\left( {x - 1} \right)^2} \ne x - 1\)
  • B. \(\forall x \in R,\,\,\left| x \right| < 3 \Leftrightarrow x < 3\) 
  • C. \(\exists n \in N,{n^2} + 1\) chia hết cho 4.
  • D. \(\forall n \in N,\,\,{n^2} + 1\) không chia hết cho 3.

• Câu 3:

  Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

  • A. \(\exists n \in N,{n^2} + 11n + 2\) chia hết cho 11
  • B. \(\exists n \in N,{n^2} + 1\) chia hết cho 4.
  • C. Tồn tại số nguyên tố chia hết cho 5.
  • D. \(\exists n \in Z,2{x^2} - 8 = 0\) 

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 10 Cánh Diều Bài tập cuối chương 1 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 1 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 2 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 3 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 4 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 5 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 6 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 7 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 8 trang 19 SGK Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 41 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 42 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 43 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 44 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 45 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 46 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 47 trang 16 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 48 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 49 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 50 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 51 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 52 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 53 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 54 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 55 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Giải bài 56 trang 17 SBT Toán 10 Cánh diều tập 1 - CD

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!