Giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 2 Mặt nón, Mặt trụ, Mặt cầu

Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu sao cho (ACB)=90^o.Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

a) Đường tròn qua ba điểm A, B, C nằm trên mặt cầu.

b) AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.

c) AB không phải là đường kính của mặt cầu.

d) AB là đường kính của đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC).

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Biết AB = AD = a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón được tạo thành khi quay đường gấp khúc BDA quanh cạnh AB.

Một hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau. Chứng minh rằng hình chóp đó nội tiếp được trong một mặt cầu (các đỉnh của hình chóp nằm trên mặt cầu).

Hình chóp S.ABC có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh bên SA, SB, SC. Mặt cầu này còn tiếp xúc với ba cạnh AB, BC, CA tại trung điểm của mỗi cạnh. Chứng minh rằng hình chóp đó là hình chóp tam giác đều.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD).

a) Chứng minh H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ có đường tròn đáy ngoại tiếp tam giác BCD và chiều cao AH.

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên ∆ lấy điểm S sao cho OS = a/2 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

Cho hình trụ có bán kính r, trục OO' = 2r và mặt cầu có đường kính OO'. 

a) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Hãy so sánh thể tích khối trụ và thể tích khối cầu được tạo nên bởi hình trụ và mặt cầu đã cho.

Cho hình lập phương \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(\displaystyle a\). Gọi \(\displaystyle S\) là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông \(\displaystyle ABCD\) và \(\displaystyle A'B'C'D'\). Diện tích \(\displaystyle S\) là:

(A) \(\displaystyle πa^2\)

(B) \(\displaystyle πa^2\sqrt 2 \)

(C) \(\displaystyle πa^2\sqrt 3 \)

(D) \(\displaystyle {{\pi {{\rm{a}}^2}\sqrt 2 } \over 2}\).

Gọi S là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay được sinh ra bởi đoạn thẳng AC' của hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh b khi quay quanh trục AA'. Diện tích S là:

(A) \(\pi b^2\)

(B) \(\pi b^2 \sqrt{2}\)

(C) \(\pi b^2 \sqrt{3}\)

(D) \(\pi b^2 \sqrt{6}\)

Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, có SA vuông góc với (ABC) và có SA = a, AB = b và AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A,B,C,S có bán kính r bằng

(A) \(\frac{2(a+b+c)}{3}\)                                 (B) \(2\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(C) \(\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)                          (D) \(\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

Cho hai điểm cố định \(A, B\) và một điểm \(M\) di động trong không gian nhưng luôn thoả mãn điều kiện \(\widehat {MAB} = α\) với \(0^0<α<90^0\). Khi đó điểm \(M\) thuộc mặt nào trong các mặt sau:

(A) Mặt nón

(B) Mặt trụ;

(C) Mặt cầu

(D) Mặt phẳng.

Số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước là:

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) vô số

Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

(A) Hình chóp tam giác (tứ diện);

(B) Hình chóp ngũ giác đều;

(C) Hình chóp tứ giác;

(D) Hình hộp chữ nhật

Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và cạnh BD vuông góc với cạnh BC. Khi quay các cạnh tứ diện đó quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Một hình nón có đỉnh là tâm của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A'B'C'D'. Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

(A) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{3}\)

(B) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{2}}{2}\)

(C) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{3}}{2}\)

(D) \(\frac{\pi a^2 \sqrt{6}}{2}\)

Cho tam giác đều ABC cạnh a quay quanh đường cao AH tạo nên một hình nón. Diện tích xung quanh hình nón đó là:

(A) \(\pi a^2\)

(B) \(2 \pi a^2\)

(C) \(\frac{1}{2} \pi a^2\)

(D) \(\frac{3}{4} \pi a^2\)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào SAI?

(A) Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng;

(B) Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu;

(C) Có vô số mặt phẳng cắt một mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau;

(D) Luôn luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhau cùng nằm trên một mặt nón.

Cho hình trụ có bán kính r; O, O' là tâm của hai đáy OO' = 2r. Một mặt cầu (S) tiếp xúc với đáy của hình trụ tại O và O'. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

(A) Diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ;

(B) Diện tích mặt cầy bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích toàn phần của hình trụ;

(C) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{3}{4}\) thể tích khối trụ;

(D) Thể tích khối cầu bằng \(\frac{2}{3}\) thể tích khối trụ;

Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thước là a, b, c. Khi đó bán kính r của mặt cầu được tính theo công thức:

(A) \(r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(B) \(r=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

(C) \(r=\sqrt{2(a^2+b^2+c^2)}\)

(D) \(r=\frac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{3}\)

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a. Thể tích khối trụ đó là:

(A) \(\frac{1}{2} \pi a^3\)

(B) \(\frac{1}{4} \pi a^3\)

(C) \(\frac{1}{3} \pi a^3\)

(D) \(\pi a^3\)

Một hình tứ diện đều cạnh a có một đỉnh trùng với đỉnh của một hình nón, còn ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

(A) \(\frac{1}{2}\pi a^2\sqrt{3}\)

(B) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{2}\)

(C) \(\frac{1}{3}\pi a^2\sqrt{3}\)

(D) \(\pi a^2\sqrt{3}\)

Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai?

(A) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình tứ diện bất kì.

(B) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp đều.

(C) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp.

(D) Có một mặt cầu ngoại tiếp một hình hộp chữ nhật.

Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số S₁/S₂ bằng:

(A) 1

(B) 2

(C) 1,5

(D) 1,2

Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa đều tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên bi xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ. Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:

(A) \(16 \pi r^2\)

(B) \(18 \pi r^2\)

(C) \(9 \pi r^2\)

(D) \(36 \pi r^2\)​

Cho ba điểm A, C, B nẳm trên một mặt cầu, biết rằng góc \(\widehat{ACB}=90^o\). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là đúng?

(A) AB là một đường kính của mặt cầu.

(B) Luôn luông có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

(C) Tam giác ABC vuông cân tại C.

(D) Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h. 

a) Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.

b) Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

Trong mặt phẳng \((\alpha )\), cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Cho hai đường thẳng Δ và Δ′ chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc Δ và A’ thuộc Δ′. Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với Δ′${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ và d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa Δ và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt Δ và Δ′ lần lượt tại M và M’. Gọi M₁ là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 30⁰.

Cho đường tròn tâm O bán kính r′. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

a) Tính bán kính r của mặt cầu đi qua năm đỉnh của hình chóp.

b) Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và A’B’C’D’.

b) Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh  của hình lập phương.

c) Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng  AC’ làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.

Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.

a) Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO’ tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.

b) Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO’ và cách trục một khoảng bằng \(\frac{r}{2}\). Tính diện tích thiết diện thu được.

c) Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO’ theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Cho hình lập phương có cạnh bằng \(a\) và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \({S_1}\) là diện tích 6 mặt của hình lập phương, \({S_2}\) là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số \(\dfrac{{{S_2}}}{{{S_1}}}\) bằng:

A. \(\dfrac{\pi }{6}\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{\pi }{2}\)

D. \(\pi \)

Một hình tứ diện đều cạnh \(a\) có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là:

A. \(\dfrac{1}{3}\pi {a^2}\sqrt 3 \)

B. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)

C. \(\dfrac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

D. \(\dfrac{1}{2}\pi {a^2}\sqrt 3 \)

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của hình tứ diện bất kì.

B. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là một tứ giác lồi.

C. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.

D. Có một mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình chóp đều.

Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng \(\widehat {ACB} = {90^0}\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho.

B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC.

C. Tam giác ABC vuông cân tại C.

D. AB là đường kính của một đường tròn lớn trên mặt cầu đã cho.

Cho tứ diện ABCD$ABCD$ có AD ⊥ (ABC) và BD ⊥ BC. Khi quay tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành? 

A. Một                         B. Hai

C. Ba                           D. Bốn

Khẳng định nào sau đây là sai?

Các hình chóp nào sau đây luôn có các đỉnh nằm trên một mặt cầu:

A. Hình chóp tam giác

B. Hình chóp đều ngũ giác

C. Hình chóp tứ giác

D. Hình chóp đều n− giác.

Cho tứ diện đều ABCD. Khi quay tứ diện đó xung quanh trục là AB có bao nhiêu hình nón khác nhau được tạo thành?

A. Một                B. Hai

C. Ba                 D. Không có hình nón nào.

Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi S₁ là tổng diện tích của ba quả banh, S₂ là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:

A. 1                   

B. 5

C. 2                   

D. Tỉ số là một số khác.

Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước lần lượt là a, b, c. Gọi (S) là mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật đó. Diện tích của mặt cầu (S) theo a, b, c là:

A. \(\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

B. \(2\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

C. \(4\pi \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

D. \(\frac{\pi }{2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

Cho mặt cầu S(O;R) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)$$. Gọi d là khoảng cách từ O tới \(\left( \alpha  \right)\)$$. Khi d < R thì mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng:

A. \(\sqrt {{R^2} + {d^2}} \)             

B. \(\sqrt {{R^2} - {d^2}} \)

C. \(\sqrt {Rd} \)                     

D. \(\sqrt {{R^2} - 2{d^2}} \)

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(BC = 2a\) và \(\hat B = {30^0}\). Quay tam giác vuông này quanh trục AB, ta được một hình nón đỉnh B. Gọi S₁ là diện tích toàn phân của hình nón đó và S₂ là diện tích mặt cầu có đường kính AB. Khi đó, tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\) là:

A. 1                         

B. \(\frac{1}{2}\)

C. \(\frac{2}{3}\)                     

D. \(\frac{3}{2}\)

Cho một hình nón với thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a có diện tích xung quanh là S₁ và một mặt cầu có đường kính bằng chiều cao hình nón có diện tích S₂. Khi đó hệ thức giữa S₁ và S₂ là:

A. S₁ = S₂                 

B. S₁ = 4S₂

C. S₂ = 2S₁               

D. 2S₂ = 3S₁

Cho hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Diện tích xung quanh của hình nón là:

A. \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)                     

B. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{4}\)

C. \(\frac{{\pi {a^2}\sqrt 2 }}{2}\)                     

D. \(\frac{{2\pi {a^2}\sqrt 2 }}{3}\)

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng \(a\sqrt 2 \) và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰. Diện tích xung quanh S_xq của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:

A. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

B. \({S_{xq}} = \frac{{\pi {a^2}}}{2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

C. \({S_{xq}} = \pi {a^2}\sqrt 2 ,V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{4}\)

D. \({S_{xq}} = \pi {a^2},V = \frac{{\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\)

Trong không gian cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và \(AC = a\sqrt 3 \). Khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB, ta được một khối nón có độ dài đường sinh là:

A. \(l = 2a \)                          B. \(l = a\sqrt 2 \)

C. \(l = a\sqrt 3 \)                      D. \(l = a \)

Cho hình trụ có bán kính đáy a và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Diện tích xung quanh của hình trụ là:

A. \(3\pi {a^2}\)${\mathrm{}}^{}$                       B. \(2\pi {a^2}\)

C. \(4\pi {a^2}\)${\mathrm{}}^{}$                        D. \(\pi {a^2}\)

Cho khối trụ có bán kính đáy bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông. Thể tích khối trụ là:

A. \(2\pi {a^3}\)                       B. \(\frac{2}{3}\pi {a^3}\)

C. \(4\pi {a^3}\)${\mathrm{}}^{}$                       D. \(\pi {a^3}\)

Cho mp (P) và điểm A không thuộc (P). Chứng minh rằng mọi mặt cầu đi qua A và có tâm nằm trên (P) luôn luôn đi qua hai điểm cố định.

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, biết \(SA = SB = SC = a,\widehat {ASB} = {60^0},\widehat {BSC} = {90^0},\widehat {CSA} = {120^0}\)

Cho hai đường tròn (O;r) và (O′;r′) cắt nhau tại hai điểm A, B và lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P′).

a) Chứng minh rằng có mặt cầu (S) đi qua hai đường tròn đó.

b) Tìm bán kính R của mặt cầu (S) khi 

\(r = 5,r' = \sqrt {10} ,AB = 6,OO\prime  = \sqrt {21} \)

Cho hình nón (N) sinh bởi tam giác đều cạnh aa khi quay quanh một đường cao của tam giác đó.

a) Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

b) Một khối cầu có thể tích của khối nón (N) thì có bán kính bằng bao nhiêu?

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b . Gọi V₁, V₂, V₃ là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi lần lượt quay quanh AB, AC, BC.

a) Tính V₁, V₂, V₃ theo b, c

b) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{V_3^2}} = \frac{1}{{V_1^2}} + \frac{1}{{V_2^2}}\)

Một hình thang cân ABCD có các cạnh đáy AB = 2a, BD = 4a, cạnh bên AD = BC = 3a. Hãy tính thể tích và diện tích toàn phần của khối tròn xoay sinh bởi hình thang đó khi quay quanh trục đối xứng của nó.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đều nào đúng?

A. Mọi hình hộp có mặt cầu ngoại tiếp.

B. Mọi hình hộp đứng có mặt cầu ngoại tiếp.

C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầu ngoại tiếp.

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp.

Trong số các hình hộp nội tiếp một mặt cầu bán kính R thì

(A) Hình hộp có đáy là hình vuông có thể tích lớn nhất.

(B) Hình lập phương có thể tích lớn nhất.

(C) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số cộng công sai khác 0 có thể tích lớn nhất.

(D) Hình hộp có kích thước tạo thành cấp số nhân công bội khác 1 có thể tích lớn nhất.

Một hình cầu có thể tích \(\frac{4}{3}\pi \) ngoại tiếp một hình lập phương. Trong các số sau đây, số nào là thể tích khối lập phương?

(A) \(\frac{{8\sqrt 3 }}{9}\) 

(B) \(\frac{8}{3}\)

(C) \(1\)

(D) \(2\sqrt 3 \)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(B) Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(C) Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.

(D) Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tập hợp các điểm M sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 2{a^2}\)

(A) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

(B) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).

(C) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tứ diện và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

(D) Mặt cầu có tâm là trọng tâm của tam giác ABC$ABC$ và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Bán kính mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh bằng \(a\) là:

(A) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)

(B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\)

(C) \(a\sqrt 2 \)

(D) \(2a\sqrt 2 \)

Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau.

(B) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song.

(C) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau.

(D) Có duy nhất một măt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Cho hai điểm A, B phân biệt. Tập hợp các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB không đổi là:

(A) Hai đường thẳng song song

(B) Một mặt cầu

(C) Một mặt trụ

(D) Một mặt nón

Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và phân biệt. Một đường thẳng l thay đổi luôn đi qua A và cách B một khoảng AB². Gọi H là hình chiếu của B trên l. Tập hợp điểm H là:

(A) Một mặt phẳng

(B) Một mặt trụ

(C) Một mặt nón

(D) Một đường tròn

Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trước, xét đường thẳng l thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 30⁰. Tập hợp các đường thẳng l trong không gian là:

(A) Một mặt phẳng

(B) Hai đường thẳng

(C) Một mặt trụ

(D) Một mặt nón.

Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, đường cao \({\rm{OO}}' = a\sqrt 3 \). Một đoạn thẳng AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục hình trụ bằng 30⁰. A, B thuộc hai đường tròn đáy của hình trụ. Tập hợp các trung điểm I của AB là:

(A) Một mặt trụ

(B) Một mặt cầu

(C) Một đường tròn

(D) Một mặt phẳng.

Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy. Một mặt phẳng (Q) thay đổi và vuông góc với đường phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B. Trong (Q) lấy điểm M sao cho \(\widehat {AMB} = {90^0}\). Khi ấy, tập hợp điểm M là:

(A) Một đường tròn

(B) Một mặt trụ

(C) Một mặt nón

(D) Một mặt cầu

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đường gấp khúc AC’A’ khi quay quanh AA’ bằng:

(A) \(\pi {a^2}\sqrt 6 \)

(B) \(\pi {a^2}\sqrt 3 \)

(C) \(\pi {a^2}\sqrt 2 \)

(D) \(\pi {a^2}\sqrt 5 \)

Cho hình nón có bán kính đáy bằng a. Một dây cung thay đổi của đường tròn đáy có độ dài không đổi bằng a. Tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm của dây cung đó là:

(A) Một mặt nón cố định

(B) Một mặt phẳng cố định

(C) Một mặt trụ cố định

(D) Một đường tròn cố định

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao OO’. Cắt hình trụ đó bằng mp \(\left( \alpha  \right)\) vuông góc với đáy và cách điểm O một khoảng bằng h cho trước (h < R). Khi ấy, mp \(\left( \alpha  \right)\) có tính chất:

(A) Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định;

(B) Luôn cách một mặt phẳng cho trước qua trục hình trụ một khoáng h ;

(C) Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ;

(D) Cả ba tính chất trên đều sai.

Một khối trụ có bán kính đáy \(a\sqrt 3 \), chiều cao \(2a\sqrt 3 \). Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối trụ là:

(A) \(8\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(B) \(6\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(C) \(\frac{4}{3}\sqrt 6 \pi {a^3}\)

(D) \(4\sqrt 3 \pi {a^3}\)

Cho hình nón có đường sinh bằng đường kính đáy và bằng 2. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó là

(A) \(\sqrt 3 \)

(B) \(2\sqrt 3 \)

(C) \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

(D) \(\frac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Cho hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là

(A) \({{a\sqrt 3 } \over 4}\)

 (B) \({{a\sqrt 2 } \over 4}\) 

(C) \({{a\sqrt 2 } \over 2}\)

(D) \({{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Cho một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một đường cao. Một khối cầu có thể tích bằng thể tích của khối nón thì có bán kính bằng

(A) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 4}\)

(B) \({{a\root 3 \of 3 } \over 8}\) 

(C) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 8}\)

(D) \({{a\root 3 \of {2\sqrt 3 } } \over 2}\)

Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng \(90^0\). Cắt hình nón bằng mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy hình nón bằng \(60^0\) . Khi đó diện tích thiết diện là 

(A) \({{\sqrt 2 } \over 3}{a^2}\)

(B) \({{\sqrt 3 } \over 2}{a^2}\) 

(C) \({2 \over 3}{a^2}\)

(D) \({3 \over 2}{a^2}\)

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với mặt đáy góc \(60^0\). Diện tích toàn phần của hình nón ngoại tiếp hình chóp là

(A) \({{3\pi {a^2}} \over 2}\)

(B) \({{3\pi {a^2}} \over 4}\) 

(C) \({{3\pi {a^2}} \over 6}\)

(D) \({{3\pi {a^2}} \over 8}\)

Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R. Tỉ số thể tích khối cầu và khối trụ là

(A) \(\frac{2}{3}\)

(B) \(\frac{3}{2}\)

(C) \(2\)

(D) \(\frac{1}{2}\)

Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, mp(ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ. Diện tích hình vuông đó là

(A) \(\frac{{5{R^2}}}{2}\)

$\frac{\mathrm{}}{}$(B) \(5{R^2}\)

(C) \(\frac{{5{R^2}\sqrt 2 }}{2}\)

(D) \(5{R^2}\sqrt 2 \)

Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ. Ba kích thước của khối hộp chữ nhật là a, b, c. Thể tích của khối trụ là

(A) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\)  

(B) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\)

(C) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)

(D) \(\frac{1}{4}\pi \left( {{a^2} + {b^2}} \right)c\) hoặc \(\frac{1}{4}\pi \left( {{b^2} + {c^2}} \right)a\) 

hoặc \(\frac{1}{4}\pi \left( {{c^2} + {a^2}} \right)b\)

Một khối tứ diện đều có cạnh a nội tiếp một khối nón. Thể tích khối nón là

(A) \(\frac{{\sqrt 3 }}{{27}}\pi {a^3}\)

(B) \(\frac{{\sqrt 6 }}{{27}}\pi {a^3}\)

(C) \(\frac{{\sqrt 3 }}{9}\pi {a^3}\)

${\mathrm{}}^{}$(D) \(\frac{{\sqrt 6 }}{9}\pi {a^3}\)

Cho hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 120⁰. Trên đường tròn đáy, lấy một điểm A cố định và điểm M di động. Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất ?

(A) Có 1 vị trí

(B) Có 2 vị trí

(C) Có 3 vị trí

(D) Có vô số vị trí.