Bài tập 2.28 trang 62 SBT Hình học 12

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với Δ′ nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc Δ mà d là hình chiếu vuông góc của Δ trên (P) nên M₁ thuộc d.

Vì \(MA \bot A{A^\prime } =  > {M_1}A \bot AA'\)

Mặt khác \({M_1}A \bot M'A'\) nên ta suy ra \({M_1}A \bot (A{A^\prime }M')\). Do đó \({M_1}A \bot M'A\) và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M₁.

Ta có \(M'A' \bot (P)\) nên \(M'A' \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M₁

Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra \(M{M_1} \bot (Q)\) mà MM’ thuộc (Q), do đó \({M_1}M \bot MM'\)

Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M₁ cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M₁. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M₁.

Ta có \(M'{M_1}^2 = M'{A^{\prime 2}} + A'{M_1}^2 = M'{A^{\prime 2}} + A'{A^2} + A{M_1}^2 = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM1 = x và \(\cot \alpha  = \frac{{A{M_1}}}{{{M_1}M}} = \frac{{A{M_1}}}{x}\)

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \(\frac{{M'{M_1}}}{2}\) nên \(r = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)

b) Hình tứ giác A’M’MM₁ là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M.

Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng Δ.

Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’ nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’.

Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.

-- Mod Toán 12 HỌC247