Bài tập 6 trang 50 SGK Hình học 12

Do O là tâm của hình vuông ABCD cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD nên đường thẳng tam giác là trục của đường tròn đó.

Gọi I là giao điểm của đường thẳng tam giác và mặt phẳng trung trực của cạnh SA, khi đó IS = IA = IB = IC = ID = r hay mặt cầu S(I; r) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có \(\Delta SMI\) đồng dạng \(\Delta SOA\)

\(\Rightarrow \frac{SI}{SA}=\frac{SM}{SO}\Leftrightarrow SI=\frac{SA.AM}{SO}=\frac{SA^2}{2SO}\).

Trong đó: \(SA^2=OA^2+SO^2=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right )^2+\frac{a^2}{4}= \frac{3a^2}{4}\).

Bán kính \(r=SI=\frac{\frac{3a^2}{4}}{2.\frac{a}{2}}=\frac{3a}{4}\).

Diện tích mặt cầu S(I; r) là: \(S=4 \pi. r^2=\frac{9\pi.a^2}{4}\).

Thể tích của khối cầu là: \(V=\frac{4}{3}.\pi.r^3=\frac{9\pi.a^3}{16}\).

-- Mod Toán 12 HỌC247