Giải bài tập Hình học 12 Chương 3 Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian

Cho ba vectơ \(\overrightarrow{a}=(2; -5; 3)\), \(\overrightarrow{b}=(0; 2; -1)\), \(\overrightarrow{c}=(1; 7; 2)\).

a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4.\overrightarrow{a}-\frac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\).

b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\).

Cho ba điểm A = (1; -1; 1), B = (0; 1; 2), C = (1; 0; 1).

Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A = (1; 0; 1), B = (2; 1; 2), D = (1; -1; 1), C'=(4; 5; -5). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

Tính:

a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6),\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).

b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2),\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \(\small x^2 + y^2 + z^2 - 8x - 2y + 1 = 0\).

b) \(\small 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\).

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính AB với A(4 ; -3 ; 7), B(2 ; 1 ; 3)

b) Đi qua điểm A = (5; -2; 1) và có tâm C(3; -3; 1)

Trong không gian Oxyz cho ba vecto \(\vec a = (2; - 1;2),\vec b = (3;0;1),\vec c = ( - 4;1; - 1)\). Tìm tọa độ của các vecto \(\vec m\) và \(\vec n\) biết rằng:

a) \(\vec m = 3\vec a - 2\vec b + \vec c\)  

b) \(\vec n = 2\vec a + \vec b + 4\vec c\)

Trong không gian Oxyz cho vecto \(\vec a = (1; - 3;4)\).

a) Tìm y₀ và z₀ để cho vecto \(\vec b = (2;{y_0};{z_0})\) cùng phương với \(\vec a\)$\stackrel{}{}$

b) Tìm tọa độ của vecto \(\vec c\) biết rằng \(\vec a\) và \(\vec c\) ngược hướng và \(|\overrightarrow {c|}  = 2|\vec a|\)

Trong không gian Oxyz cho điểm M có tọa độ (x₀; y₀ ; z₀). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oyz), (Ozx).

Cho hai bộ ba điểm:

a) A = (1; 3; 1)   ,   B = (0; 1; 2)    ,  C = (0; 0; 1)

b) M = (1; 1; 1)   ,  N = (-4; 3; 1)    ,  P = (-9; 5; 1)

Hỏi bộ nào có ba điểm thẳng hàng?

Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng (Oxz) một điểm M cách đều ba điểm A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0), C(3; 1; -1).

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} \)                                 

b) \(\overrightarrow {AB}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} \)

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)                        

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Trong không gian cho ba vecto tùy ý \(\vec a,\vec b,\vec c\). Gọi \(\vec u = \vec a - 2\vec b,\vec v = 3\vec b - \vec c,{\rm{\vec w}} = 2\vec c - 3\vec a\).

Chứng tỏ rằng ba vecto \(\vec u,\vec v,{\rm{\vec w}}\) đồng phẳng.

Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\vec a\) tùy ý khác vecto \(\vec 0\). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\vec i,\vec j,\vec k\) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\vec a\). Chứng minh rằng: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: "Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau".

Tính tích vô hướng của hai vecto \(\vec a,\vec b\) trong không gian với các tọa độ đã cho là:

a) \(\vec a = (3;0; - 6),\vec b = (2; - 4;c)\)

b) \(\vec a = (1; - 5;2),\vec b = (4;3; - 5)\)

c) \(\vec a = (0;\sqrt 2 ;\sqrt 3 ),\vec b = (1;\sqrt 3 ; - \sqrt 2 )\)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(4; -1; 1)  , B(2; 1; 0)

b) A(2; 3; 4)  , B(6; 0; 4)

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: 

A(a; 0 ; 0),                  B(0; b; 0) ,                     C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

a) Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

b) Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ;

c) Đi qua điểm M(2;-1;-3) và có tâm C(3; -2; 1)

Trong không gian Oxyz hãy xác định tâm và bán kính các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) x² + y² + z² – 6x + 2y – 16z – 26 = 0 ;

b) 2x² + 2y² + 2z² + 8x – 4y – 12z – 100 = 0

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Cho

\(\begin{array}{l}
\vec u = \vec i - 2\vec j;\vec v = 3\vec i + 5\left( {\vec j - \vec k} \right){\rm{;}}\\
{\rm{\vec w}} = 2\vec i - \vec k + 3\vec j
\end{array}\)

a) Tìm toạ độ của các vectơ đó.

b) Tìm côsin của các góc \(\left( {\vec v,\vec i} \right);\left( {\vec v,\vec j} \right);\left( {\vec v,\vec k} \right)\)

c) Tính các tích vô hướng \(\vec u.\vec v,\vec u.{\rm{\vec w}},\vec v.{\rm{\vec w}}\)

Cho vecto \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh \({\cos ^2}(\vec u,\vec i) + {\cos ^2}(\vec u,\vec j) + {\cos ^2}(\vec u,\vec k) = 1\)

Tìm góc giữa hai vecto \(\vec u\) và \(\vec v\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right);\overrightarrow v  = \left( {2;1; - 1} \right)\)

b) \(\vec u = 3\vec i + 4\vec j;\vec v =  - 2\vec j + 3\vec k\)

Biết \(|\overrightarrow u | = 2;|\overrightarrow v | = 5\), góc giữa vecto \({\vec u}\) và \({\vec v}\) bằng \(\frac{{2\pi }}{3}\). Tìm vecto \(\overrightarrow p  = k\overrightarrow u  + 17\overrightarrow v \) vuông góc với vecto \(\overrightarrow q  = 3\overrightarrow u  - \overrightarrow v \)

Cho điểm M(a; b; c)

a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ.

c) Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.

Cho hai điểm A(x₁; y₁; z₁) và B(x₂; y₂; z₂). Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là \(\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB} \)), trong đó k ≠ 1

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} \)

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1 ; 2 ; 3) và B(-3 ; -3 ; 2).

b) Cho ba điểm A(2; 0; 4); B(4; \(\sqrt 3 \); 5) và C(sin5t, cos3t, sin3t). Tìm t để AB vuông góc với OC (O là gốc toạ độ).

Xét sự đồng phẳng của ba vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow w \) trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}
a)\overrightarrow u (4;3;4),\overrightarrow v (2; - 1;2),\overrightarrow w (1;2;1)\\
b)\overrightarrow u (1; - 1;1),\overrightarrow v (0;1;2),\overrightarrow w (4;2;3)\\
c)\overrightarrow u (4;2;5),\overrightarrow v (3;1;3),\overrightarrow w (2;0;1)
\end{array}\)

Cho ba điểm A(1; 0; 0); B(0; 0; 1); C(2; 1; 1)

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.

c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A.

d) Tính các góc của tam giác ABC.

Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A

Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N  là điểm sao cho \(\overrightarrow {SN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {SB} \)

a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.

b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.

Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

\(\begin{array}{l}
a){x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x + 2y + 1 = 0\\
b)3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x - 3y + 15z - 2 = 0\\
c)9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} - 6x + 18y + 1 = 0
\end{array}\)

Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :

a) Đi qua ba điểm A(0 ; 8 ; 0), B(4; 6 ; 2), C(0 ; 12 ; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz);

b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox;

c) Có tâm I(1 ; 2 ; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).