Bài tập 11 trang 81 SGK Hình học 12 NC

a) Ta có: 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1;0),\overrightarrow {AC}  = ( - 1;0;1),\\
\overrightarrow {AD}  = ( - 3;1; - 2)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&1
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
0&{ - 1}\\
1&{ - 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
{ - 1}&0
\end{array}} \right|} \right)\\
 = \left( { - 3;1; - 2} \right)
\end{array}\\
{ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  =  - 3.1 + 1.1 - 2.1 =  - 4 \ne 0}
\end{array}\)

Do đó 3 vecto \(\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { - 2;0; - 2} \right),\\
\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 1;1} \right)
\end{array}\)

Gọi α, β, γ lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\cos \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {CD} } \right)} \right|\\
 = \frac{{|2 + 1 + 0|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}}
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos \beta  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right)} \right|\\
 = \frac{{|2 + 0 - 2|}}{{\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD
\end{array}\\
\begin{array}{l}
\cos \gamma  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ;\overrightarrow {BC} } \right)} \right|\\
 = \frac{{|0 - 1 - 2|}}{{\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = \frac{{3\sqrt 7 }}{{14}}
\end{array}
\end{array}\)

c) Thể tích của tứ diện ABCD là: 

\(V = \frac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| = \frac{1}{6}| - 4| = \frac{2}{3}\)

Gọi h_A là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:

\(\begin{array}{l}
V = \frac{1}{3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = \frac{{3V}}{{{S_{BCD}}}}\\
{S_{BCD}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \\
 \Rightarrow {h_A} = \frac{{3.\frac{2}{3}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}
\end{array}\)

-- Mod Toán 12 HỌC247