Bài tập 5 trang 81 SGK Hình học 12 NC

a) Gọi M₁(x; y; 0) là hình chiếu của điểm M(a;b;c) trên mp(Oxy) thì \(\overrightarrow {M{M_1}}  = \left( {x - a,y - b, - c} \right);\) \(\overrightarrow {M{M_1}} .\vec i = \overrightarrow {M{M_1}} .\vec j = 0\) nên 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - a = 0\\
y - b = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = a\\
y = b
\end{array} \right. \Rightarrow {M_1}(a;b;0)\)

Tương tự M₂(0; b; c) là hình chiếu của M(a; b; c) trên mp(Oyz)
Và M₃(a; 0; c) là hình chiếu của M(a;b;c) trên mp(Oxz).
Giả sử M₄(x; 0; 0) là hình chiếu của M(a; b; c) trên trục Ox thì

\(\overrightarrow {M{M_4}}  = \left( {x - a; - b; - c} \right);\overrightarrow {M{M_4}} .\overrightarrow i  = 0\) nên x = a.

Vậy \({M_4}\left( {a;0;0} \right)\)

Tương tự M₅(0; b; 0) và M₆(0; 0; c) lần lượt là hình chiếu của M(a; b; c) trên trục Oy và Oz.

b) Khoảng cách từ M đến (Oxy) là:

\(\begin{array}{l}
d(M;(Oxy)) = M{M_1}\\
 = \sqrt {{{(a - a)}^2} + {{(b - b)}^2} + {{(c - 0)}^2}}  = |c|\\
d(M;(Oyz)) = |a|\\
d(M;(Oxz)) = |b|\\
d(M;Ox) = M{M_4}\\
 = \sqrt {{{(a - a)}^2} + {{(b - 0)}^2} + {{(c - 0)}^2}}  = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \\
d(M;Oy) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \\
d(M;Oz) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} 
\end{array}\)

c) Gọi M′₁(x; y; z) là điểm đối xứng của M qua mp(Oxy) thì M₁ là trung điểm của MM′₁ nên

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_{{M_1}}} = \frac{{{x_M} + {x_{M{'_1}}}}}{2}\\
{y_{{M_1}}} = \frac{{{y_M} + {y_{M{'_1}}}}}{2}\\
{z_{{M_1}}} = \frac{{{z_M} + {z_{M{'_1}}}}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{M{'_1}}} = 2a - a = a\\
{y_{M{'_1}}} = 2b - b = b\\
{z_{M{'_1}}} = 0 - c =  - c
\end{array} \right.\)

Tương tự M′₂(−a; b; c) là điểm đối xứng của M qua mp(Oyz). Và M′₃(a; −b; c) là điểm đối xứng của M qua mp(Oxz)

-- Mod Toán 12 HỌC247