Bài tập 9 trang 123 SGK Hình học 12 NC

a) Đường thẳng Δ có phương trình tham số là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t}\\
{y =  - 1 - t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right.\)

Vì điểm M(x, y, z) có hình chiếu trên (Oxy) là M’(x, y, 0) nên hình chiếu d₁ của Δ trên (Oxy) có phương trình tham số là 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = 1 + 2t}\\
{y =  - 1 + t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right.\)

Hình chiếu d₂ của Δ trên (Oyz) là

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  - 1 - t\\
z = 3t
\end{array} \right.\)

Hình chiếu d₃ của Δ trên (Oxz) là 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 0\\
z = 3t
\end{array} \right.\)

b) Lấy điểm \(M\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in {\rm{\Delta }}\)$,$ thay tọa độ của M vào phương trình mp(α) ta có:

\(1 + 2t - 5\left( {1 + t} \right) + 3t + 4 = 0 \Rightarrow M \in \left( \alpha  \right).\)

Vậy \({\rm{\Delta }} \subset \left( \alpha  \right)\)$,$ tức mp(α) đi qua Δ.

c) Δ qua điểm M(1;−1;0) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 1;3} \right).\)

Đường thẳng chứa trục Ox qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\vec i\left( {1;0;0} \right)\)

Khoảng cách giữa Δ và trục Ox là:

Khoảng cách giữa Δ và trục Oy là:

\(\begin{array}{l}
{h_2} = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\vec j} \right].\overrightarrow {OM} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\vec j} \right]} \right|}}\\
 = \frac{{\left| { - 3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}.
\end{array}\)

Khoảng cách giữa Δ và trục Oz là:

\({h_3} = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\vec k} \right].\overrightarrow {OM} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\vec k} \right]} \right|}} = \frac{{\left| 1 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.\)

d) Lấy \(P\left( {1 + 2t, - 1 - t,3t} \right) \in {\rm{\Delta }},{\rm{\Delta }}\) có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {2; - 1;3} \right).\)

\(Q\left( {t',t',t'} \right) \in {\rm{\Delta '}},{\rm{\Delta '}}\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \left( {1;1;1} \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {QP}  = \left( {1 + 2t - t', - 1 - t - t',3t - t'} \right).\)

PQ là đường vuông góc chung của Δ và Δ′ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {PQ}  \bot \vec u\) và \(\overrightarrow {PQ}  \bot \overrightarrow {u'} \)$,$ tức là:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow u  = 0\\
\overrightarrow {QP} .\overrightarrow {u\prime }  = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {1 + 2t - t\prime } \right) - \left( { - 1 - t - t\prime } \right) + 3\left( {3t - t\prime } \right) = 0\\
1 + 2t - t\prime  - 1 - t - t\prime  + 3t - t\prime  = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
14t - 4t\prime  =  - 3\\
4t - 3t\prime  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t =  - \frac{9}{{26}}\\
t\prime  =  - \frac{6}{{13}}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó \(Q\left( { - \frac{6}{{13}}; - \frac{6}{{13}}; - \frac{6}{{13}}} \right)\) 

Và \(\overrightarrow {QP}  = \left( {\frac{{20}}{{16}},\frac{{ - 5}}{{16}},\frac{{ - 15}}{{16}}} \right) = \frac{5}{{16}}\left( {4; - 1; - 3} \right).\)

Đường thẳng PQ đi qua Q và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( {4; - 1; - 3} \right)\)$.$ Do đó PQ có phương trình tham số là: 

\(Q\left( {t',t',t'} \right) \in {\rm{\Delta '}}.\)

PQ // Oz \( \Leftrightarrow \overrightarrow {QP} \) cùng phương với 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 + 2t - t\prime  = 0\\
 - 1 - t - t\prime  = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t =  - \frac{2}{3}\\
t' =  - \frac{1}{3}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy PQ đi qua \(Q\left( { - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec k = \left( {0;0;1} \right)\) nên PQ có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{1}{3}\\
y =  - \frac{1}{3}\\
z =  - \frac{1}{3} + t
\end{array} \right.\)
$$

-- Mod Toán 12 HỌC247