Bài tập 10 trang 170 SBT Hình học Toán 12

a) \(\overrightarrow {SB}  = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Phương trình (P) đi qua A và nhận \(\overrightarrow {SB} \) làm VTPT là:

x + 2y - 2z = 0.

b) Phương trình đường thẳng SB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\).

Để tìm B' ta giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2z = 0\\x = t\\y = 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow t + 2.2t - 2\left( {2 - 2t} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 9t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{9}\)

\( \Rightarrow B'\left( {\frac{4}{9};\frac{8}{9};\frac{{10}}{9}} \right)\)

Tương tự, C'(0; 1; 1)

c)

\(\overrightarrow {C'B'}  = \left( {\frac{4}{9}; - \frac{1}{9};\frac{1}{9}} \right)\), \(\overrightarrow {AC'}  = \left( {0;1;1} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {C'B'} .\overrightarrow {AC'}  = 0\) \( \Rightarrow C'B' \bot AC'\)

\( \Rightarrow {S_{AB'C'}} = \frac{1}{2}AC'.C'B'\) \( = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt {\frac{{16 + 1 + 1}}{{81}}}  = \frac{1}{3}\)

Mà \(SB' = \sqrt {S{A^2} - AB{'^2}} \) \( = \sqrt {4 - \frac{{20}}{9}}  = \frac{4}{3}\)

Vậy \({V_{S.AB'C'}} = \frac{4}{{27}}\).

d) Đường thẳng qua B và vuông góc với (P) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z =  - 2t\end{array} \right.\)

Để tìm giao điểm Bo của đường thẳng này với (P) ta giải hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z =  - 2t\\x + 2y - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow 1 + t + 2\left( {2 + 2t} \right) - 2\left( { - 2t} \right) = 0\)  \( \Leftrightarrow 9t + 5 = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{5}{9}\)

\( \Rightarrow {B_0}\left( {\frac{4}{9};\frac{8}{9};\frac{{10}}{9}} \right)\)

Từ đó suy ra điểm đối xứng với B qua (P) là \({B_1}\left( { - \frac{1}{9}; - \frac{2}{9};\frac{{20}}{9}} \right)\)

e) Dễ thấy \(\overrightarrow {BC}  \bot \overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC'}  \bot \overrightarrow {AC'} ,\overrightarrow {BB'}  \bot \overrightarrow {AB'} \) nên A, B, C, B', C' cùng thuộc mặt cầu tâm I(1/2; 1; 0) là trung điểm của AB, bán kính IA = (√5) /2

Phương trình mặt cầu đó là \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = \frac{5}{4}\)

Vì điểm C' thuộc mặt cầu, nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại C' phải vuông góc với \(\overrightarrow {IC'}  = \left( { - \frac{1}{2};0;1} \right)\)

Phương trình của mặt phẳng đó là: x - 2(z - 1) = 0 hay x - 2z + 2 = 0.

-- Mod Toán 12 HỌC247