Phần hướng dẫn giải bài tập Hình học 10 Chương 2 Bài 2 Tích vô hướng của hai vectơ sẽ giúp các em nắm được phương pháp và rèn luyện kĩ năng các giải bài tập từ SGK Hình học 10 Cơ bản và Nâng cao.
-
Bài tập 1 trang 45 SGK Hình học 10
Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = AC = a\). Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow{ AB} .\overrightarrow{AC };\overrightarrow{ AC} .\overrightarrow{CB }\).
-
Bài tập 2 trang 45 SGK Hình học 10
Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng biết \(OA = a, OB = b\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}\) trong 2 trường hợp
a) Điểm O nằm ngoài đoạn AB
b) Điểm O nằm trong đoạn AB
-
Bài tập 3 trang 45 SGK Hình học 10
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho hai dây cung AM và BN cắt nhau tai I.
a) Chứng minh \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}= \overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BA}\)
B) Hãy dùng câu a) để tính \(\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BI}.\overrightarrow{BN}\) theo R
-
Bài tập 4 trang 45 SGK Hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 3), B(4;2)
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;
b) Tính chu vi tam giác OAB;
c) Chứng tỏ rằng OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB
- VIDEOYOMEDIA
-
Bài tập 5 trang 46 SGK Hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ
và
trong các trường hợp sau :
a) \(\vec{a}= (2; -3)\) , \(\vec{b}= (6; 4)\)
b) \(\vec{a} = (3; 2)\), \(\vec{b}= (5; -1)\)
c) \(\vec{a} = (-2; -2 \sqrt3)\), \(\vec{b}= (3; \sqrt3)\)
-
Bài tập 6 trang 46 SGK Hình học 10
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm: A(7; -3); B(8; 4); C(1; 5); D(0;-2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.
-
Bài tập 7 trang 46 SGK Hình học 10
Trên mặt phẳng Oxy cho điểm A(-2; 1). Gọi B là điểm đói xứng với điểm A qua gốc tọa độ O. Tìm tọa độ của điểm C có tung độ băng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.
-
Bài tập 2.13 trang 91 SBT Hình học 10
Cho hai vectơ a và vectơ b đều khác vectơ 0. Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) khi nào dương, khi nào âm và khi nào bằng 0?
-
Bài tập 2.14 trang 91 SBT Hình học 10
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây:
\(\begin{array}{l}
{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \\
{\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \\
\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}
\end{array}\) -
Bài tập 2.15 trang 91 SBT Hình học 10
Tam giác ABC vuông tại A và có AB = AC = a. Tính:
a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)
b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)
c) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
-
Bài tập 2.16 trang 91 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) rồi suy ra giá trị của góc A;
b) Tính \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} \)
-
Bài tập 2.17 trang 91 SBT Hình học 10
Tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm, BC = 11 cm.
a) Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng tỏ rằng tam giác ABC có góc A tù.
b) Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = 2 cm và gọi N là trung điểm của cạnh AC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN}\)
-
Bài tập 2.18 trang 92 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Gọi H là trung điểm của cạnh BC, D là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC, M là trung điểm của đoạn HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
-
Bài tập 2.19 trang 92 SBT Hình học 10
Cho hai véctơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 12\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 13\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\) và suy ra góc giữa hai vec tơ \(\overrightarrow a \) và \({\overrightarrow a + \overrightarrow b }\).
-
Bài tập 2.20 trang 92 SBT Hình học 10
Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm của tam giác và M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}\).
-
Bài tập 2.21 trang 92 SBT Hình học 10
Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \)
-
Bài tập 2.22 trang 92 SBT Hình học 10
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)
-
Bài tập 2.23 trang 92 SBT Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A = (2;4), B = (- 3;1) và C = (3;1). Tính:
a) Tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành;
b) Tọa độ chân của đường cao vẽ từ đỉnh A.
-
Bài tập 2.24 trang 92 SBT Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A = (-1; 1), B = (1; 3) và C = (1; -1)
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân tại A.
-
Bài tập 2.25 trang 92 SBT Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.
-
Bài tập 2.26 trang 92 SBT Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-1; -1), B(3; 1) và C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính góc B của tam giác ABC.
-
Bài tập 2.27 trang 92 SBT Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(5;4) và B(3;-2). Một điểm M di động trên trục hoành Ox. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right|\).
-
Bài tập 2.28 trang 92 SBT Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(3; 4), B(4; 1), C(2; -3), D(-1; 6). Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
-
Bài tập 4 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Trong các trường hợp nào tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) có giá trị dương, có giá trị âm, bằng 0 ?
-
Bài tập 5 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Cho tam giác ABC. Tổng
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {AB} } \right)\)
có thể nhận giá trị nào trong các giá trị sau: 900; 1800; 2700; 3600 ?
-
Bài tập 6 trang 51 SGK Hình học 10 NC
Cho tam giác ABC vuông ở A và góc B = 300. Tính giá trị của các biểu thức sau
a) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \sin \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) + \tan \frac{{\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)}}{2}\)
b) \(\sin \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BA} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {BA} } \right)\)
-
Bài tập 7 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {AB} = 0 \).
Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao của một tam giác đồng quy”.
-
Bài tập 8 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông tại A là \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = A{B^2}\)
-
Bài tập 9 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Cho tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng
\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BE} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CF} = 0\).
-
Bài tập 10 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R. Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AM, BN.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AI} ;\overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BI} \)
b) Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BN} .\overrightarrow {BI} \) theo R.
-
Bài tập 11 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại M. Trên a có hai điểm A và B, trên b có hai điểm C và D đều khác M sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
-
Bài tập 12 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a và một số k2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA2−MB2 = k2
-
Bài tập 13 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Trong mặt phẳng tọa độ, cho \(\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \).
a) Tìm các giá trị của k để \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \);
b) Tìm các giá trị của k để \(\left| {\overrightarrow u } \right| \bot \left| {\overrightarrow v } \right|\).
-
Bài tập 14 trang 52 SGK Hình học 10 NC
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có các đỉnh A(−4;1), B(2;4), C(2;−2).
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
b) Tìm tọa độ của trọng tâm G, trực tâm H và tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó hãy kiểm tra tính chất thẳng hàng của ba điểm I, G, H.
