Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.
Tóm tắt lý thuyết
2.1. Khái niệm lôgarit
- Cho hai số thực dương \(a\) và \(b\) với \(a\ne1\). Số \(\alpha\) thỏa mãn \(a^{\alpha}=b\) được gọi là lôgarit có số \(a\) của \(b\), kí hiệu \(\log_ab=\alpha\).
- Vậy: \(\alpha = {\log _a}b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 < a \ne 1,b > 0\\ {a^\alpha } = b \end{array} \right.\)
- Ví dụ:
+ \(\log_2\sqrt{2}=\frac{1}{2}\) vì \(2^\frac{1}{2}=\sqrt{2}\)
+ \(\log_2\frac{1}{8}=-3\) vì \(2^{-3}=\frac{1}{8}\)
+ \(\log_23=1\) vì \(3^1=3\)
+ \(\log_a1=0\) vì \(a^0=1\)
+ \(\log_23=x\) vì \(2^x=3\)
2.2. Các tính chất của lôgarit
a) Qui tắc tính lôgarit
- Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
- Với \(b>0\): \(a^{\log_ab}=b\)
- Lôgarit của một tích:
+ Với \(x_1,x_2>0\): \(\log_a(x_1.x_2)=\log_ax_1+\log_ax_2\)
+ Mở rộng với \(x_1,x_2,..., x_n>0\): \(\log_a(x_1.x_2....x_n)=\log_ax_1+\log_ax_2+...+\log_ax_n\)
- Lôgarit của một thương
+ Với \(x_1,x_2>0 :\ \log_a\frac{x_1}{x_2}=\log_ax_1-\log_ax_2\)
+ Với \(x> 0: \log_a\frac{1}{x}=-\log_ax\)
- Lôgarit của một lũy thừa:
+ Với \(b>0:\) \(\log_ab^x=x\log_ab\)
+ \(\forall x\): \(\log_aa^x=x\)
b) Công thức đổi cơ số:
- Cho số thực \(a\) thỏa \(0< a\neq 1\), ta có các tính chất sau:
+ Với \(00:\) \(\log_ab=\frac{\log_c \ b}{\log_c \ a}\)
+ Lấy \(0 < b \ne 1\), chọn \(c=b\) ta có: \({\log _a}b = \frac{1}{{{{\log }_b}a}}\)
+ Với \(\alpha \neq 0,b>0\): \(\log_{a^\alpha }b^\beta =\frac{\beta }{\alpha }\log_ab\)
+ Với \(\alpha \neq 0, b>0:\) \(\log_{a^\alpha }b=\frac{1}{\alpha }\log_ab\)
c) So sánh hai lôgarit cùng cơ số
- Nếu \(a>1\) thì \(\log_ax>\log_ay \Leftrightarrow x>y>0\)
2.3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên
a) Lôgarit thập phân
- Lôgarit cơ số 10 của số \(x>0\) được gọi là lôgarit thập phân của \(x\), kí hiệu là \(\log x\) hoặc \(\lg x\).
b) Lôgarit tự nhiên
- Lôgarit cơ số \(e\) của số \(a>0\) được gọi là lôgarit tự nhiên (hay lôgarit Nê-pe) của số a, kí hiệu \(\ln a.\)
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10\)
b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right)\)
Lời giải:
a) \(A = {\log _9}15 + {\log _9}18 - {\log _9}10 = {\log _9}\frac{{15.18}}{{10}} = {\log _9}{3^3} = \frac{1}{2}{\log _3}{3^3} = \frac{3}{2}\)
b) \(B = {\log _{36}}2 - \frac{1}{2}{\log _{\frac{1}{6}}}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2 + \frac{1}{2}{\log _6}3 = \frac{1}{2}{\log _6}2.3 = \frac{1}{2}\)
c) \(C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right) = - {\log _4}\left( {{{\log }_2}3.{{\log }_3}4} \right)\)
\(= - {\log _4}\left( {{{\log }_2}4} \right) = - \frac{1}{2}{\log _2}2 = - \frac{1}{2}\)
Ví dụ 2:
Tính các giá trị biểu thức sau (Giả sử các biểu thức đều xác định):
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a}\)
b) \(B={\log _{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}}\)
Lời giải:
a) \(A = {\log _a}{a^3}\sqrt a \sqrt[5]{a} = {\log _a}\left( {{a^{3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5}}}} \right) = 3 + \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{{37}}{{10}}\)
b) \(B=lo{g_{\frac{1}{a}}}\frac{{a\sqrt[5]{{{a^3}}}\sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt a \sqrt[4]{a}}} = - {\log _a}\left( {\frac{{{a^{1 + \frac{3}{5} + \frac{2}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}}}} \right) = - \left( {\frac{{34}}{{15}} - \frac{3}{4}} \right) = - \frac{{91}}{{60}}\)
Ví dụ 3:
a) Tính \(A= {\log _3}135\) biết \({\log _2}5 = a;{\log _2}3 = b\)
b) Tính \(B={\log _{49}}32\) biết \({\log _2}14 = a\)
Lời giải:
a) \(A = {\log _3}135 = {\log _3}{5.3^3} = {\log _3}5 + 3 = \frac{{{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}} + 3 = \frac{a}{b} + 3 = \frac{{a + 3b}}{b}\)
b) Ta có: \({\log _2}14 = a \Leftrightarrow 1 + {\log _2}7 = a \Rightarrow {\log _2}7 = a - 1\)
Vậy: \({\log _{49}}32 = \frac{{{{\log }_2}{2^5}}}{{{{\log }_2}{7^2}}} = \frac{5}{{2{{\log }_2}7}} = \frac{5}{{2\left( {a - 1} \right)}}\)
Ví dụ 4:
Không dùng máy tính, hãy so sánh:
a) \({\log _{0,4}}\sqrt 2 \; \vee \;{\log _{0,2}}0,34\)
b) \({\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\; \vee \;{\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5}\)
c) \({2^{{{\log }_5}3}}\; \vee \;{3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}}\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 > 1 \Rightarrow {\log _{0,4}}\sqrt 2 < {\log _{0,4}}1 = 0\\ 0,3 < 1 \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,2}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{0,2}}0,3 > {\log _{0,4}}\sqrt 2\)
b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{5}{3} > 1;0 < \frac{3}{4} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4} < {\log _{\frac{5}{3}}}1 = 0\\ 0 < \frac{3}{4} < 1;0 < \frac{2}{5} < 1 \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{3}{4}}}1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _{\frac{3}{4}}}\frac{2}{5} > {\log _{\frac{5}{3}}}\frac{3}{4}\)
c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} {\log _5}3 > {\log _5}1 \Rightarrow {2^{{{\log }_5}3}} > {2^{{{\log }_5}1}} = {2^0} = 1\\ {\log _5}\frac{1}{2} < {\log _5}1 \Rightarrow {3^{{{\log }_5}\frac{1}{2}}} < {3^{{{\log }_5}1}} = {3^0} = 1 \end{array} \right. \Rightarrow {\log _5}3 > {\log _5}\frac{1}{2}\)
4. Luyện tập Bài 3 Chương 2 Toán 12
Nội dung bài hạc sẽ giúp các em nắm được định nghĩa, các qui tắc tính lôgarit và công thức đổi cơ số. Thông qua các ví dụ minh họa các em sẽ biết vận dụng lôgarit để giải toán.
4.1 Trắc nghiệm
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 3 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(A = \frac{{62}}{5}\)
- B. \(A = \frac{{16}}{5}\)
- C. \(A = \frac{{22}}{5}\)
- D. \(A = \frac{{67}}{5}\)
-
- A. \(P = \frac{3}{{10}}\)
- B. \(P = 4\)
- C. \(P = \frac{1}{2}\)
- D. \(P = \frac{1}{4}\)
-
- A. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab}}\)
- B. \({\log _6}45 = \frac{{2{a^2} - 2ab}}{{ab + b}}\)
- C. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{ab + b}}\)
- D. \({\log _6}45 = \frac{{a + 2ab}}{{2ab + b}}\)
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
4.2 Bài tập SGK
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 12 Chương 2 Bài 3 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 12 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 2 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 3 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 4 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 5 trang 68 SGK Giải tích 12
Bài tập 2.15 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.16 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.17 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.18 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.19 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.20 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.21 trang 109 SBT Toán 12
Bài tập 2.22 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.23 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.24 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.25 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 2.26 trang 110 SBT Toán 12
Bài tập 23 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 24 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 25 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 26 trang 89 SGK Toán 12 NC
Bài tập 27 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 28 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 29 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 30 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 31 trang 90 SGK Toán 12 NC
Bài tập 32 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 33 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 34 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 35 trang 92 SGK Toán 12 NC
Bài tập 36 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 37 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 38 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 39 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 40 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 41 trang 93 SGK Toán 12 NC
Bài tập 42 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 43 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 44 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 45 trang 97 SGK Toán 12 NC
Bài tập 46 trang 97 SGK Toán 12 NC
5. Hỏi đáp Bài 3 Chương 2 Toán 12
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 12 HỌC247
