Giải bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 1 Hàm số lượng giác

Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  \(\small \left [- \pi ;\frac{3 \pi }{2} \right ]\) để hàm số \(\small y = tanx\);

a) Nhận giá trị bằng 0

b) Nhận giá trị bằng 1  

c) Nhận giá trị dương 

d) Nhận giá trị âm.  

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(\small y=\frac{1+cosx}{sinx}\) ;

b)  \(\small y=\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}\) ;

c)  \(\small y=tan(x-\frac{\pi }{3})\) ;

d)  \(\small y=cot(x+\frac{\pi }{6})\) .

Dựa vào đồ thị hàm số \(\small y = sinx\), hãy vẽ đồ thị của hàm số \(\small y = |sinx|\).

Chứng minh rằng \(\small sin2(x + k \pi ) = sin 2x\) với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(\small y = sin2x\).

Dựa vào đồ thị hàm số y = cosx, tìm các giá trị của x để cosx =  .

Dựa vào đồ thị hàm số y = sinx, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị dương.

Dựa vào đồ thị hàm số y = cos x, tìm các khoảng giá trị của x để hàm số đó nhận giá trị âm.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

a) \(y=2\sqrt{cosx}+1\)

b) \(y=3-2sinx.\)

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) \(y = \cos \frac{{2x}}{{x - 1}}\)

b) \(y = \tan \frac{x}{3}\)

c) \(y = \cot 2x\)

d) \(y = \sin \frac{1}{{{x^2} - 1}}\)

Tìm tập xác định của các hàm số

a) \(y = \sqrt {\cos x + 1} \)

b) \(y = \frac{3}{{{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x}}\)

c) \(y = \frac{{2}}{{\cos x - \cos 3x}}\)

d) y = tanx+cotx

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số

a) \(y = 3 - 2\left| {\sin x} \right|\)

b) \(y = \cos x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

c) \(y = {\cos ^2}x + 2\cos 2x\)

d) \(y = \sqrt {5 - 2{{\cos }^2}x{{\sin }^2}x} \)

Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau ?

a) \(\frac{1}{{\tan x}} = \cot x\)

b) \(\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}x}} = {\cos ^2}x\)

c) \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\)

d) tanx+cotx = 2sin2x

Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số

a) \(y = \frac{{\cos 2x}}{x}\)

b) y = x−sinx

c) \(y = \sqrt {1 - \cos x} \)

d) \(y = 1 + \cos x\sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - 2x} \right)\)

a) Chứng minh rằng cos2(x+kπ) = cos2x, k ∈ Z. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos2x

b) Từ đồ thị hàm số y = cos2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |cos2x|

Tập xác định của hàm số \(y = \sqrt {1 + 2\cos x} \) là

A. \(\left[ { - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ;\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right]\)

B. \(\left[ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right]\)

C. \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right]\)

D. \(\left[ { - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;\frac{\pi }{4} + k2\pi } \right]\)

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{1 - \sin x}}{{2\cot x}}\) là  

A. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)

B. \(R\backslash \left\{ {k\frac{\pi }{2}} \right\}\)

C. R∖{kπ}

D. R∖{k2π}

Tập xác định của hàm số \(y = 1 + \tan x\sqrt {1 - \sin x} \) là

A. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}\)

B. \([k2\pi ;\pi  + k2\pi ]\)

C. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)

D. \(R\backslash \left[ {\frac{\pi }{6} + k2\pi ;\frac{{5\pi }}{6} + k2\pi } \right]\)

Tập xác định của hàm số \({y = \frac{{\sqrt {1 - 2\cos x} }}{{\sqrt {3 - \tan x} }}}\) là

A. \(R\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}\)

B. \(R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right\}\)

C. \(R\backslash \left\{ {\left\{ {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right\} \cup \left\{ {\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right\}} \right\}\)

D. \(R\backslash \left\{ {\left( { - \frac{\pi }{3} + k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right] \cup \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi } \right\}} \right\}\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1−cosx−sinx là

A. \( - \frac{1}{2}\)

B. −1

C. \(1 - \sqrt 2 \)

D. \( - \sqrt 2 \)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2+|cosx|+|sinx| là

A. 2

B. \(2 + \sqrt 2 \)

C. \(\frac{3}{2}\)

D. \(3- \sqrt 2 \)

Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y=cos6x+sin6x$y={\cos }^{6}x+{\sin }^{6}x$ tương ứng là

A. \(\frac{1}{4}\) và 1                     B. \(\frac{3}{5}\) và \(\frac{3}{4}\)

C. \(\frac{1}{2}\) và \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)               D. \(\frac{2}{3}\) và \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)  

Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau :

a. \(y = \sqrt {3 - \sin x} \);                                                                

b. \(y = \frac{{1 - \cos x}}{{\sin x}}\)

c. \(y = \sqrt {\frac{{1 - \sin x}}{{1 + \cos x}}} \)                                                             

d. \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\)

Xét tính chẵn – lẻ của hàm số sau :

a. y = −2sinx

b. y = 3sinx–2

c. y = sinx–cosx

d. y = sinxcos²x+tanx

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a. \(y = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 3\)

b.  \(y = \sqrt {1 - \sin \left( {{x^2}} \right)}  - 1\)

c.  \(y = 4\sin \sqrt x \)

Cho các hàm số f(x) = sinx, g(x) = cosx, h(x) = tanx và các khoảng

\(\begin{array}{l}
{J_1} = \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right),{J_2} = \left( { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right),\\
{J_3} = \left( {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right),{J_4} = \left( { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right)
\end{array}\)

Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng J₁ ? Trên khoảng J₂ ? Trên khoảng J₃ ? Trên khoảng J₄ ? (Trả lời bằng cách lập bảng).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ? Khẳng định nào sai ? Giải thích vì sao ?

a. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sinx đồng biến thì hàm số y = cosx nghịch biến.

b. Trên mỗi khoảng mà hàm số y = sin²x đồng biến thì hàm số y = cos²x nghịch biến.

Cho hàm số y = f(x) = 2sin2x

a. Chứng minh rằng với số nguyên kk tùy ý, luôn có f(x+kπ) = f(x) với mọi x.

b. Lập bảng biến thiên của hàm số y = 2sin2x trên đoạn 

c. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2sin2x

Xét tính chẵn – lẻ của mỗi hàm số sau:

a.  \(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

b.  y = tan|x|

c.  y = tanx−sin2x

Cho các hàm số sau:

a. y = −sin²x

b.  y = 3tan²x+1

c. y = sinxcosx

d. \(y = \sin x.\cos x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\cos 2x\)

Chứng minh rằng mỗi hàm số y = f(x) đó đều có tính chất :

f(x+kπ) = f(x) với k ∈ Z, x thuộc tập xác định của hàm số f.

Cho hàm số y = f(x) = Asin(ωx+∝) (A, ωvà ∝ là những hằng số; A và ω khác 0). Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k), ta có f(x+k.2πω) = f(x) với mọi x.

Chứng minh rằng mọi giao điểm của đường thẳng xác định bởi phương trình \(y = \frac{x}{3}\) với đồ thị của hàm số y = sinx đều cách gốc tọa độ một khoảng nhỏ hơn \(\sqrt {10} \).

Từ đồ thị của hàm số y = sinx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:

a. y = −sinx

b.  y = |sinx|

c. y = sin|x|

a. Từ đồ thị của hàm số y = cosx, hãy suy ra đồ thị của các hàm số sau và vẽ đồ thị của các hàm số đó:

y = cosx+2

\(y = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\)

b. Hỏi mỗi hàm số đó có phải là hàm số tuần hoàn không ?

Xét hàm số  y = f(x) = \(\cos \frac{x}{2}\)

a. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên k, f(x+k4π) = f(x) với mọi x.

b. Lập bảng biến thiên của hàm số y = \(\cos \frac{x}{2}\) trên đoạn [−2π;2π].

c. Vẽ đồ thị của các hàm số y = cosx và y = \(\cos \frac{x}{2}\) trong cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy.

d. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình F biến mỗi điểm (x;y) thành điểm (x′;y′) sao cho x′ = 2xvà y′ = y. Chứng minh rằng F biến đồ thị của hàm số y = cosx thành đồ thị của hàm số  y = \(\cos \frac{x}{2}\).