Ở chương trình Đại số 10, các em đã được học các khái niệm về giá trị lượng giác, công thức lượng giác,...Đến với chương trình Đại số và Giải tích 11 các em tiếp tục được học các khái niệm mới là Hàm số lượng giác, Phương trình lượng giác. Đây là dạng toán trọng tâm của chương trình lớp 11, luôn xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia. Để mở đầu, xin mời các em cùng tìm hiểu bài Hàm số lượng giác. Thông qua bài học này các em sẽ nắm được các khái niệm và tính chất của các hàm số sin, cos, tan và cot.
Tóm tắt lý thuyết
1.1. Hàm số sin và hàm số cosin
a) Hàm số sin
- Xét hàm số \(y = \sin x\)
- Tập xác định: \(D=\mathbb{R}.\)
- Tập giá trị: \([-1;1].\)
- Hàm số tuần hòa với chu kì \(2\pi \).
- Sự biến thiên:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {-\frac{{ \pi }}{2} + k2\pi ;\,\,\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}.\)
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
- Đồ thị hàm số \(y = \sin x\)
+ Đồ thị là một đường hình sin.
+ Do hàm số \(y = \sin x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số \(y = \sin x\):
.png)
b) Hàm số cosin
- Xét hàm số \(y = \cos x\)
- Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
- Tập giá trị: \([-1;1].\)
- Hàm số tuần hòa với chu kì: \(2\pi \)
- Sự biến thiên:
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \pi + k2\pi ;\,\,k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \((k2\pi ;\,\,\pi + k2\pi )\), \(k \in \mathbb{Z}\).
- Đồ thị hàm số \(y = \cos x\)
+ Đồ thị hàm số là một đường hình sin.
+ Hàm số \(y = \cos x\) là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số \(y = \cos x\):
.png)
1.2. Hàm số tan và hàm số cot
a) Hàm số \(y = \tan x\)
- Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right\}.\)
- Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi.\)
- Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
- Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{{ - \pi }}{2} + k\pi ;\,\frac{\pi }{2} + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
- Đồ thị hàm số \(y = \tan x\)
+ Hàm số \(y = \tan x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số \(y = \tan x\):
.png)
b) Hàm số \(y = \cot x\)
- Tập xác định \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi ,\left( {k \in } \right)} \right\}.\)
- Tập giá trị là \(\mathbb{R}.\)
- Hàm số tuần hoàn với chu kì \(\pi .\)
- Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\,\pi + \,k\pi } \right),\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
- Đồ thị hàm số \(y = \cot x\)
+ Hàm số \(y = \cot x\) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
+ Đồ thị hàm số \(y = \cot x\):
.png)
Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
Tìm tập xác định các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\)
b) \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
c) \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\)
Lời giải:
a) Hàm số \(y = \frac{{1 + \sin x}}{{\cos x}}\) xác định khi \(cosx\ne0\) hay \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)
b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\) xác định khi \(x + \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + k\pi \,(k \in\mathbb{Z} ).\)
c) Hàm số \(y = \cot \left( {\frac{\pi }{3} - 2x} \right)\) xác định khi \(\frac{\pi }{3} - 2x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} - k\frac{\pi }{2}(k \in )\)
Ví dụ 2:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1\)
b) \(y=\sqrt{1+\cos2x}-5\)
Lời giải:
a) Ta có: \(- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Rightarrow - 3 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 3\)
\(\Rightarrow - 2 \le 3\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 1 \le 4\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, giá trị nhỏ nhất cả hàm số là -2.
b) Ta có: \(- 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + \cos 2x \le 2\)
\(\Rightarrow 0 \le \sqrt {1 + \cos 2x} \le \sqrt 2 \Rightarrow - 5 \le \sqrt {1 + \cos 2x} - 5 \le \sqrt 2 - 5\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \(\sqrt2-5\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là -5.
Ví dụ 3:
Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số lượng giác sau:
a) \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\)
b) \(y = 2\cos 2x\)
c) \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)
Lời giải:
Phương pháp: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến đổi biểu thức cuả hàm số đã cho về một dạng tối giản và lưu ý rằng:
Hàm số \(y = \sin x,y = \cos x\) có chu kì \(T=2\pi.\)
Hàm số \(y = \tan x,y = \cot x\) có chu kì \(T=\pi.\)
Hàm số \(y = \sin \left( {ax + b} \right),y = \cos \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) cho chu kì \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right),y = \cot \left( {ax + b} \right)\) với \(a\ne 0\) có chu kì \(T = \frac{{\pi }}{{\left| a \right|}}.\)
a) Hàm số \(y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)
b) Hàm số \(y = 2\cos 2x\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{2\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \pi .\)
c) Hàm số \(y = \tan \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\) có chu kì tuần hoàn là \(T = \frac{{\pi }}{{\left| 2 \right|}} = \frac{\pi}{2} .\)
3. Luyện tập Bài 1 chương 1 giải tích 11
Trong phạm vi bài học HỌC247 chỉ giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về hàm số lượng giác. Đây là một dạng toán nền tảng không chỉ trong phạm vi khảo sát hàm số lượng giác mà còn được ứng dụng trong việc giải phương trình lượng giác, sự đơn điệu của hàm số lượng giác,....các em cần tìm hiểu thêm.
3.1 Trắc nghiệm về hàm số lượng giác
Để cũng cố bài học xin mời các em cũng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 11 Bài 1 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
-
- A. \(\emptyset \)
- B. \(\left[ { - 1;1} \right]\)
- C. \(\left( { - \infty ;3} \right]\)
- D. \(\mathbb{R}\)
-
- A. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
- B. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
- C. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{3} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
- D. \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}\)
-
- A. M=5; m=1
- B. M=5; m=-1
- C. M=3; m=1
- D. M=5; m=3
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
3.2 Bài tập SGK và Nâng Cao về hàm số lượng giác
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 11 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.
Bài tập 1 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 2 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 3 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 4 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 5 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 6 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 7 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 8 trang 17 SGK Đại số & Giải tích 11
Bài tập 1.1 trang 12 SBT Toán 11
Bài tập 1.2 trang 12 SBT Toán 11
Bài tập 1.3 trang 12 SBT Toán 11
Bài tập 1.4 trang 13 SBT Toán 11
Bài tập 1.5 trang 13 SBT Toán 11
Bài tập 1.6 trang 13 SBT Toán 11
Bài tập 1.7 trang 13 SBT Toán 11
Bài tập 1.8 trang 13 SBT Toán 11
Bài tập 1.9 trang 13 SBT Toán 11
Bài tập 1.10 trang 14 SBT Toán 11
Bài tập 1.11 trang 14 SBT Toán 11
Bài tập 1.12 trang 14 SBT Toán 11
Bài tập 1.13 trang 14 SBT Toán 11
Bài tập 1 trang 14 SGK Toán 11 NC
Bài tập 2 trang 14 SGK Toán 11 NC
Bài tập 3 trang 14 SGK Toán 11 NC
Bài tập 4 trang 14 SGK Toán 11 NC
Bài tập 5 trang 14 SGK Toán 11 NC
Bài tập 6 trang 15 SGK Toán 11 NC
Bài tập 7 trang 16 SGK Toán 11 NC
Bài tập 8 trang 17 SGK Toán 11 NC
Bài tập 9 trang 17 SGK Toán 11 NC
Bài tập 10 trang 17 SGK Toán 11 NC
Bài tập 11 trang 17 SGK Toán 11 NC
Bài tập 12 trang 17 SGK Toán 11 NC
Bài tập 13 trang 17 SGK Toán 11 NC
4. Hỏi đáp về bài 1 chương 1 giải tích 11
Nếu có thắc mắc cần giải đáp các em có thể để lại câu hỏi trong phần Hỏi đáp, cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm trả lời cho các em.
-- Mod Toán Học 11 HỌC247
