Bài tập 1.3 trang 12 SBT Toán 11

a) 0 ≤ |sinx| ≤ 1 ⇔ −2 ≤ - 2|sinx| ≤ 0

⇔ 3−2 ≤ 3−2|sinx| ≤ 3

⇔ 1 ≤ 3−2|sinx| ≤ 3

Vậy GTLN của hàm số y = 3−2|sinx| là 3 đạt được khi sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.

GTNN của hàm số y = 3−2|sinx| là 1 đạt được khi \(\sin x =  \pm 1 \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in Z.\)

b) Ta có: \(\cos x + \cos \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( = 2\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\cos \frac{\pi }{6} = \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\)

Do \( - 1 \le \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1\)

⇔ \( \Leftrightarrow  - \sqrt 3  \le \sqrt 3 \cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le \sqrt 3 \)

Vậy hàm số có GTLN là \(\sqrt 3 \) đạt được khi \({\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1}\)

\({ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in Z}\)

GTNN là \(-\sqrt 3 \) đạt được khi \(\cos \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) =  - 1\)

\( \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \pi  + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi ,k \in Z\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\cos }^2}x + 2\cos 2x}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 2\cos 2x\\
 = \frac{{1 + 5\cos 2x}}{2}
\end{array}
\end{array}\)

Do −1 ≤ cos2x ≤ 1

⇔−5 ≤ 5cos2x ≤ 5

⇔ 1−5 ≤ 1+5cos2x ≤ 1+5

⇔ \(\frac{{1 - 5}}{2} \le \frac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le \frac{{1 + 5}}{2}\)

⇔ \( - 2 \le \frac{{1 + 5\cos 2x}}{2} \le 3\)

Vậy hàm số có GTLN là 3

đạt được khi cos2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z

GTNN là −2 đạt được khi cos2x = −1 ⇔ 2x = π+k2π ⇔ x = \(\frac{\pi }{2}\) +kπ, k ∈ Z

d) Ta có: \(5 - 2{\cos ^2}x{\sin ^2}x = 5 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\)

Do 0 ≤ sin²2x ≤ 1

⇔ −1 ≤ −sin²2x ≤ 0

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le  - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 0\\
 \Leftrightarrow 5 - \frac{1}{2} \le 5 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\
 \Leftrightarrow \frac{9}{2} \le 5 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 5\\
 \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt 2 }}{2} \le \sqrt {5 - \frac{1}{2}{{\sin }^2}2x}  \le \sqrt 5 
\end{array}\)

Vậy hàm số có GTLN là \(\sqrt 5 \) đạt được khi −sin²2x = 0 ⇔ sin2x = 0

 \( \Leftrightarrow 2x = k\pi  \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2},k \in Z\)

GTNN là \(\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\)  đạt được khi −sin²2x = −1 ⇔ sin2x = ±1

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow 2x =  \pm \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\
{ \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi 2,k \in Z.}
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247