Bài tập 2.34 trang 102 SBT Hình học 10

a) Theo định lý sin ta có: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}\)

Ta suy ra: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{{b + c}}{{\sin B + \sin C}} = \frac{{2a}}{{\sin B + \sin C}}\)

⇒ 2sin A = sin B + sin C

b) Đối với tam giác ABC ta có:

\(S = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2}{h_c}.c = \frac{{abc}}{{4R}}\)

Ta suy ra \({h_c} = \frac{{ab}}{{2R}}\) . Tương tự ta có \({h_b} = \frac{{ac}}{{2R}},{h_c} = \frac{{bc}}{{2R}}\)

Do đó:

\(\frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{ab}}} \right) = 2R.\frac{{b + c}}{{abc}}\) mà b + c = 2a.

Nên \(\frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}} = 2R\left( {\frac{1}{{ac}} + \frac{1}{{ab}}} \right) = 2R.\frac{{b + c}}{{abc}} = \frac{{2R.2}}{{bc}} = \frac{2}{{{h_a}}}\)

Vậy \(\frac{2}{{{h_a}}} = \frac{1}{{{h_b}}} + \frac{1}{{{h_c}}}\)

-- Mod Toán 10 HỌC247