Bài tập 30 trang 66 SGK Hình học 10 NC

Áp dụng công thức tính trung tuyến, MN là trung tuyến của tam giác BMD, ta có:

\(\begin{array}{l}
M{N^2} = \frac{{B{M^2} + D{M^2}}}{2} - \frac{{B{D^2}}}{4}\\
 \Leftrightarrow 4M{N^2} = 2\left( {B{M^2} + D{M^2}} \right) - B{D^2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Tương tự, BM, DM lần lượt là trung tuyến của tam giác ABC, ADC nên:

\(\begin{array}{l}
4B{M^2} = 2\left( {A{B^2} + B{C^2}} \right) - A{C^2}\,\,\,\left( 2 \right)\\
4D{M^2} = 2\left( {D{A^2} + C{D^2}} \right) - A{C^2}\,\,\left( 3 \right)
\end{array}\)

Từ (2), (3) suy ra:

\(\begin{array}{l}
2\left( {B{M^2} + D{M^2}} \right)\\
 = A{B^2} + B{C^2} + C{D^2} + D{A^2} - A{C^2}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 4 \right)
\end{array}\)

Thay (4) vào (1), ta có

4MN² = AB²+BC²+CD²+DA²−AC²−BD² 

⇒ AB²+BC²+CD²+DA² = AC²+BD²+4MN²

-- Mod Toán 10 HỌC247